Exercice Clémentine est persuadée qu'il existe des solutions à l'équation (E): 8x²+14x²-2x-3,5=0 dans l'intervalle [-1,5; 1,5]. 1. a. En utilisant la calculatrice ou un logiciel de géométrie, tracer sur écran la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=8x³+14x²-2x-3,5 sur [-1,5; 1,5]. Tracer l'allure de la courbe sur votre copie. b. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 et des valeurs de ces solutions par lecture graphique. 2. Clémentine pour rechercher les solutions commence l'écriture d'un programme Python qui teste tous les nombres de -1,5 à 1,5 avec un pas de 0,25. 1 from math import * 2 x = -1.5 3 while 24556 if 8*x**3+14*x**2-2*x-3.5==0: X = print(x)
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Réponse :
Explications étape par étape :
f(x) = 8x³+14x²-2x-7/2=0 ⇔ 16x³+28x²-4x-7=0
f'(x) = 24x²+28x-2 = 0 ⇒ Δ = 28²-4*24*-2 =28²+192 = 976
f'(x) s'annule dc pour x'&x'' = {-28±√976)/2*24 = -1.23 & 0.0675
avec f( -1.23) = 5.10 & f(0.0675) = -3.57
& f( -1,5) = 4; f( 1,5) = 52;
qd x tend vers -∞ , f(x) tend vers -∞ & qd x tend vers +∞ , f(x) tend vers +∞
dc la courbe de f commence à -∞, croit, dépasse l'axe des abscisses, atteint un maximum de 5.10 pour x = -1.23, décroit, repasse l'axe des abscisses pour atteindre un minimum de -3.57 pour x = + 0.0675
& recroît ensuite en tendant vers +∞
& comme f( -1,5) = 4; f( 1,5) = 52, on peut en déduire que f{x) s'annule 2 fois entre -1,5 & +1,5