Exercice n° 4: La bougie : Pour décorer sa table, Daphnée achète des
bougies en forme de boule, de diamètre 10 cm, qu'elle coupe en suivant un
plan de telle sorte que la base de chaque bougie ait un diamètre de 6 cm.
Elle souhaite connaître la hauteur SH de la bougie découpée. O est le centre
de la boule et H est le centre de la section. [SH] passe par O et est
perpendiculaire à la table. Quelle est la hauteur SH de la bougie ainsi
découpée ? Justifier votre réponse.
bougies en forme de boule, de diamètre 10 cm, qu'elle coupe en suivant un
plan de telle sorte que la base de chaque bougie ait un diamètre de 6 cm.
Elle souhaite connaître la hauteur SH de la bougie découpée. O est le centre
de la boule et H est le centre de la section. [SH] passe par O et est
perpendiculaire à la table. Quelle est la hauteur SH de la bougie ainsi
découpée ? Justifier votre réponse.
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OA² = OH² + AH²
R² = OH² + (2R - AH)²
En utilisant la valeur de R et en simplifiant l'équation, on obtient :
OH² = 25 - (2R - AH)²
En utilisant la valeur de r (r = 3 cm), on peut également calculer la hauteur OH' de la bougie découpée en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OAH', où AH' est la hauteur de la bougie découpée. On a :
OA² = OH'² + AH'²
r² = OH'² + (2R - AH')²
En utilisant la valeur de R et en simplifiant l'équation, on obtient :
OH'² = 9 - (2R - AH')²
Comme la hauteur SH de la bougie découpée est égale à OH - OH', on peut soustraire les deux équations précédentes et obtenir :
OH² - OH'² = 16 - [(2R - AH)² - (2R - AH')²]
En simplifiant l'équation et en utilisant la valeur de R, on obtient :
2OH x OH' = 64 - 4AH x AH'
En utilisant les valeurs de OH et OH' calculées précédemment, on peut résoudre cette équation pour trouver la hauteur AH' de la bougie découpée :
AH' = 2R - (AH/3)
En utilisant la valeur de AH pour la bougie entière (AH = 10 cm), on peut calculer la hauteur AH' de la bougie découpée :
AH' = 2R - (10/3) =