Exercice sur les fonctions exponentielles Bonsoir ! J'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice en .... Pergunta de ideia depaganmindlm

July 2022 1 54 Report

Exercice sur les fonctions exponentielles

Bonsoir !

J'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice en maths, c'est le dernier que j'ai à faire pour mon DM. Si quelqu'un peut m'aider ce serait vraiment cool, merci si vous le faîtes en tout cas !

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alexandre0519

Réponse :

$\text{ Utiliser la formule} : [u(x)*v(x)]'=u(x)*v'(x)+u'(x)*v(x)$

Appliquons la formule a la fonction f :

$u(x)=6-3x$ $u'(x)=-3$
$v(x)=e^{2x}$ $v'(x)=2e^{2x}$

$f'(x)=(6-3x)*[2e^{2x}]+(-3)*[e^{2x}]$

$f'(x)=-3e^{2x}+(6-3x)e^{2x}*2$

$f'(x)=(-3+2[6-3x])e^{2x}$

$f'(x)=(-3+12-6x)e^{2x}$

$f'(x)=(9-6x)e^{2x}$

Etudions désormais le signe de la dérivée pour ainsi déduire la variation de la fonction f :

Comme la dérivée est un produit de deux fonctions, il suffit alors d'étudier le signe des deux fonctions séparéments et ensuite appliquer la règle des signes :

$e^{2x} \text{ est toujours positif sur } \mathbb{R} \text$

Donc il suffit d'étudier le signe de (9-6x)

$9-6x \geq 0$
$-6x \geq -9$
$6x \leq 9$
$x \leq \frac{3}{2}$
Donc : $\forall x\leq \frac{3}{2} \text{ On a } (9-6x)\geq 0$

Conclusion :

$\forall x\leq\frac{3}{2} \text{ On a } f'(x)\geq 0$
$\forall x\geq \frac{3}{2} \text{ On a } f'(x)\leq 0$

$\iff \forall x \in]-\infty;\frac{3}{2} ] f \text{ est croissante} \\\iff \forall x \in[\frac{3}{2};+\infty ] f \text{ est decroissante}$