Resposta:

a) Para encontrar a derivada da função f(x) = sin(x) + cos(x), você pode aplicar a regra da soma para derivar cada termo separadamente. A derivada da função f(x) é:

f'(x) = (d/dx)sin(x) + (d/dx)cos(x)

A derivada de sin(x) é cos(x), e a derivada de cos(x) é -sin(x). Portanto:

f'(x) = cos(x) - sin(x)

b) A série de Taylor de uma função é uma expansão em série infinita que aproxima a função por meio de suas derivadas em um ponto específico. Para encontrar a série de Taylor da função f(x) = sin(x) + cos(x), podemos expandi-la em torno de x = 0 (o ponto zero é comumente usado):

f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2!)*x^2 + (f'''(0)/3!)*x^3 + ...

Neste caso, f(0) = sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1, e f'(0) = cos(0) - sin(0) = 1 - 0 = 1.

As derivadas superiores de f(x) serão as mesmas que as da parte "a". Portanto, a série de Taylor da função f(x) é:

f(x) = 1 + x - (1/2!)*x^2 - (1/3!)*x^3 + ...

c) Para encontrar a função inversa de f(x) = sin(x) + cos(x), você deve inverter a função. Primeiro, escreva f(x) em termos de uma variável y:

y = sin(x) + cos(x)

Agora, resolva essa equação para x em termos de y:

sin(x) + cos(x) = y

Em seguida, você pode usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão:

sin(x) + cos(x) = √2 * sin(π/4 + x)

Agora, resolva para x:

x = π/4 + arcsin(y/√2)

Portanto, a inversa da função f(x) é:

f^(-1)(y) = π/4 + arcsin(y/√2)