1.   Cf. fichier joint.

2.   Dans le triangle ABD, E et H étant les milieux respectifs de [AB] et de [AD]

       selon le théorème de Thalès, on a (EH) // (BD) et BD = 2 EH

      Dans le triangle BCD, F et G étant les milieux respectifs de [BC] et de [CD]

       selon le théorème de Thalès, on a (FG) // (BD) et BD = 2 FG

      Puisqu'elles sont parallèles à la même droite (BD), on a donc :  (EH) // (FG)

      Puisqu'elles sont toutes deux la moitié de la même longueur BD, on a donc :  EH  =  FG

3.   Les extrémités de deux segments parallèles de même longueur

       créent deux autres segments parallèles entre eux.

      Or (EH) // (FG) et EH = FG

      Donc on a (EH) // (FG) et (EF) // (GH)

      Or un quadrilatère est un parallélogramme si ses côtés sont parallèles deux à deux.

      Antoine a donc raison, EFGH est bien un parallélogramme.

4.   Si ABCD est un rectangle :

      —   la droite (EG) est parallèle à (BC) et perpendiculaire à (AB), en étant la médiane ;

      —   la droite (FH) est parallèle à (AB) et perpendiculaire à (BC), én étant la médiane.

      Or tout droite parallèle à une droite qui est perpendiculaire à une autre droite

       est également perpendiculaire à cette autre droite.

      Donc si ABCD est un rectangle, (EG) et (FH) sont perpendiculaires entre elles.

      Or un parallélogramme est un losange si ses diagonales sont perpendiculaires.

      Donc, si ABCD est un rectangle, EFGH sera un losange.