Um carro, vindo do norte, aproxima-se de um cruzamento em ângulo reto a uma velocidade de 60 km/h. Ao mesmo tempo, um outro carro, que se situa a leste do cruzamento, afasta-se a uma velocidade de 50 km/h. Determine a taxa de variação da distancia entre os dois carros no instante em que o primeiro esta a 20 km do cruzamento e o segundo está a 15km do cruzamento. Qual a interpretação física do sinal do resultado encontrado?
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Resposta:
Interpretação física do sinal do resultado:
O sinal negativo da taxa de variação da distância entre os carros indica que a distância entre eles está diminuindo. Isso faz sentido, uma vez que o carro A está se afastando do cruzamento na direção oposta ao carro B, que também está se afastando do cruzamento, mas perpendicularmente. Portanto, a distância entre eles está diminuindo com o tempo.
Explicação passo a passo:
Para determinar a taxa de variação da distância entre os dois carros, podemos usar o teorema de Pitágoras, já que os carros formam um triângulo retângulo com o cruzamento. Vamos chamar o primeiro carro de A e o segundo carro de B. A distância entre A e o cruzamento é de 20 km, e a distância entre B e o cruzamento é de 15 km. Queremos encontrar a taxa de variação da distância entre A e B quando ambos estão nessas posições.
Vamos usar as notações seguintes:
- A distância entre A e B é representada por d.
- A posição de A ao longo do eixo x é representada por x.
- A posição de B ao longo do eixo y é representada por y.
A partir do teorema de Pitágoras, temos:
d² = x² + y²
Agora, diferenciamos ambos os lados da equação em relação ao tempo (t):
2d * (dd/dt) = 2x * (dx/dt) + 2y * (dy/dt)
Agora, vamos preencher os valores conhecidos:
- dd/dt é a taxa de variação da distância entre os carros que estamos procurando.
- x = 20 km e dx/dt = -60 km/h (a velocidade é negativa porque o carro A se afasta do cruzamento).
- y = 15 km e dy/dt = 50 km/h (a velocidade é positiva porque o carro B se afasta do cruzamento).
Substituindo esses valores na equação:
2d * (dd/dt) = 2 * 20 km * (-60 km/h) + 2 * 15 km * 50 km/h
Agora, resolvemos a equação:
2d * (dd/dt) = -2400 km²/h - 1500 km²/h
2d * (dd/dt) = -3900 km²/h
Agora, isolamos dd/dt dividindo ambos os lados por 2d:
dd/dt = (-3900 km²/h) / (2d)
Agora, podemos encontrar o valor de d usando o teorema de Pitágoras quando A está a 20 km do cruzamento e B está a 15 km do cruzamento:
d = sqrt(20² + 15²) = sqrt(400 + 225) = sqrt(625) = 25 km
Agora, podemos encontrar a taxa de variação da distância:
dd/dt = (-3900 km²/h) / (2 * 25 km) = -78 km/h