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Réponse :

soit x un nombre réel strictement supérieur à 0

1) montrer que √(1+x) > 1 et que √(1+x) < 1 + (1/2) x

    x > 0  ⇔ x + 1 > 0 + 1  ⇔ x + 1 > 1  ⇔ √(1 + x) > √1  ⇔ √(1 + x) > 1

    x > 0  ⇔ 1/2) x > 0  ⇔ 1 + (1/2) x >  1  

     (1 + x/2)² ⇔ 1 + x + x²/4 > 1 + x    donc   √(1+x/2)² > √(1+x)

⇔ 1+x/2 > √(1+x)

 donc    1 < √(1+x) < 1 + 1/2) x

2) en déduire un encadrement de √1.01 d'amplitude  10⁻³

               1.004 < √1.01 < 1.005

Explications étape par étape :

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Réponse :

Explications étape par étape :

1)

soit x un nombre strictement positif

alors on a

x > 0

⇒ x² > 0

⇒ (1/4) x²> 0

⇒  (1/4) x² + x > x

⇒(1/4) x² + x + 1 > x + 1

⇒ (1 + (1/2) × x)² > x + 1

⇒√(1 + 1/2 x)² > √(x + 1)

⇒ 1 + 1/2 × x > √(x + 1)

soit x un nombre strictement positif

alors on a

x >0⇒ x + 1 > 1 ⇒ √(x + 1) > √ 1 ⇒ √(x + 1) > 1

2) on sait que 1 < √(x + 1) < 1 + 1/2 × x et que √1,01 = √( 1 + 0,01)

ici x = 0,01

on a donc

1 < √(0,01 + 1) < 1 + 1/2 × 0,01

1 < √(0,01 + 1) < 1 + 1/2 × 1/100

1 < √(0,01 + 1) < 1 + 1/200

1 < √(0,01 + 1) < 1 + 0,005

1 < √(0,01 + 1) < 1 ,005 avec une amplitude de 5 10⁻³ = 0,005