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U0 = 6 et pour tout entier naturel n; Un+1 = 1/3)Un - 2

1) préciser les 5 premiers termes de la suite (Un)

U1 = 1/3)U0 - 2 = 2 - 2 = 0

U2 = 1/3)U1 - 2 = 0 - 2 = - 2

U3 = 1/3)U2 - 2 = - 2/3) - 2 = - 8/3

U4 = 1/3)U3 - 2 = - 8/9) - 2 = - 26/9

U5 = 1/3)U4 - 2 = - 26/27 - 2 = - 80/27

En déduire que (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique

U1 - U0 = 0 - 6 = - 6

U2 - U1 = - 2

U3 - U2 = - 8/3 - 2 = - 14/3

U4 - U3 = - 26/9 + 8/3 = - 2/9

U5 - U4 = - 80/27 + 26/9 =  - 2/27

⇒ U1 - U0 ≠ U2 - U1 ≠ U3 - U2 ≠ U4 - U3 ≠ U5 - U4  donc la suite (Un) n'est pas arithmétique

U1/U0 = 0

U2/U1 = n'est pas définie car il faut que Un+1/Un  avec Un ≠ 0

donc la suite n'est pas géométrique  

2) on pose Vn = Un + 3  Montrer que (Vn) est géométrique

Vn+1/Vn = (Un+1 +3)/(Un + 3)

              = (1/3) Un - 2 + 3)/(Un + 3)

              = (1/3) Un + 1)/(Un + 3)

              = (Un + 3)/3/(Un + 3)

              = 1/3

La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1/3

3) donner l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n

puisque (Vn) est une suite géométrique donc elle peut s'écrire sous la forme suivante:    Vn = V0 x qⁿ = 9 x (1/3)ⁿ

Vn = 9 x 1/3ⁿ  ⇒ Vn = 1/3ⁿ⁻²

Vn = Un + 3 ⇒ Un = Vn - 3 = 9/3ⁿ - 3 = (1 - 3ⁿ⁻¹)/3ⁿ⁻²

Un = (1 - 3ⁿ⁻¹)/3ⁿ⁻²

vous faite l'ex4 avec la même démarche que celle de l'ex3