Réponse:

[tex]n + ( { - 1})^{n} = m + ({ - 1})^{m} [/tex]

1) On vérifie que n et m sont de même parité, c'est à dire soit tous les deux pairs ou tous les deux impairs.

un nombre pair s'écrit sous la forme : 2k

impair : 2k+1

CAS 1

si n et m sont pair

n = 2k

m = 2p

avec k et p appartenant à |N

a gauche on a :

[tex]2k + ( { - 1})^{2k} = 2k + 1[/tex]

à droite :

[tex]2p + 1[/tex]

si :

[tex]2k + 1 = 2p + 1[/tex]

[tex]2k = 2p[/tex]

[tex]k = p[/tex]

donc on a bien n = m

et donc l'équation est validé.

CAS 2 :

si

n = 2k+1

m = 2p+1

on a à gauche :

[tex](2k + 1) + ( { - 1})^{2k + 1} = 2k + 1 - 1 = 2k[/tex]

et à droite

[tex]2p[/tex]

donc on a :

2k = 2p

k = p

donc

m = n

Ainsi :

si m et n sont de même parité l'égalité est vérifié.

2) Je te laisse faire la partie injective