a) Existem dois pontos que formam um triângulo retângulo com A(-3,2) e B(3, -1): O ponto D(-3, -1) e o ponto E(3, 2).
b) A área do triângulo retângulo formado é 9u².
Enunciado - Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo é formada entre os pontos A e B, determine:
a) Os coordenadas do outro vértice do triângulo.
b) A área do triângulo.
Dados: A(-3,2), B(3, -1), área do triângulo = [tex]\dfrac{base~\times~altura}{2}[/tex]
a) As coordenadas do vértice
O primeiro passo é desenhar os pontos A(-3,2) e B(3, -1) em um plano cartesiano, conforme imagem que anexei.
Para o triângulo ser retângulo, o ângulo entre os catetos precisa ser de 90°.
Para isso, vamos desenhar uma semirreta que parte do ponto A e é paralela ao eixo y, e outra semirreta que parte do ponto B e é paralela ao eixo x. Fazendo isso, vamos encontrar o vértice do triângulo retângulo (vermelho ) onde as duas semirretas se encontram, que é no ponto D(-3, -1).
Porém, podemos fazer o inverso: Podemos desenhar uma semirreta que parte do ponto A e é paralela ao eixo x, e outra semirreta que parte do ponto B e é paralela ao eixo y. Fazendo isso, vamos encontrar outro vértice do triângulo (azul )onde as duas semirretas se encontram, que é no ponto E(3, 2).
Portanto, existem dois pontos que formam um triângulo retângulo com A(-3,2), B(3, -1): Os pontos D(-3, -1) e E(3, 2).
b) A área do triângulo
A área do triângulo será [tex]\dfrac{b \times h}{2}[/tex], onde:
[tex]\begin{cases}\bf{b}=\text{base to tri\^angulo = cateto 1}\\\bf{h}=\text{altura do tri\^angulo = cateto 2}\end{cases}[/tex]
No item acima, vimos que podemos formar dois triângulos retângulos com os pontos A(-3,2) e B(3, -1). Porém, esses dois triângulos são congruentes, ou seja, seus lados têm a mesma medida e sua área é igual. Para fazer os cálculos, vou escolher o triângulo azul.
No triângulo azul, temos:
base = distância entre os pontos A(-3,2) e E(3, 2);
altura = distância entre os pontos B(3, -1) e E(3, 2).
A fórmula da distância entre pontos é [tex]\bf{D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_y-y_1)^2}}[/tex]. Aplicando nos pontos:
base = distância entre os pontos A(-3,2) e E(3, 2)
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a) Existem dois pontos que formam um triângulo retângulo com A(-3,2) e B(3, -1): O ponto D(-3, -1) e o ponto E(3, 2).
b) A área do triângulo retângulo formado é 9u².
Enunciado - Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo é formada entre os pontos A e B, determine:
a) Os coordenadas do outro vértice do triângulo.
b) A área do triângulo.
Dados: A(-3,2), B(3, -1), área do triângulo = [tex]\dfrac{base~\times~altura}{2}[/tex]
O primeiro passo é desenhar os pontos A(-3,2) e B(3, -1) em um plano cartesiano, conforme imagem que anexei.
Para o triângulo ser retângulo, o ângulo entre os catetos precisa ser de 90°.
Para isso, vamos desenhar uma semirreta que parte do ponto A e é paralela ao eixo y, e outra semirreta que parte do ponto B e é paralela ao eixo x. Fazendo isso, vamos encontrar o vértice do triângulo retângulo (vermelho ) onde as duas semirretas se encontram, que é no ponto D(-3, -1).
Porém, podemos fazer o inverso: Podemos desenhar uma semirreta que parte do ponto A e é paralela ao eixo x, e outra semirreta que parte do ponto B e é paralela ao eixo y. Fazendo isso, vamos encontrar outro vértice do triângulo (azul )onde as duas semirretas se encontram, que é no ponto E(3, 2).
Portanto, existem dois pontos que formam um triângulo retângulo com A(-3,2), B(3, -1): Os pontos D(-3, -1) e E(3, 2).
A área do triângulo será [tex]\dfrac{b \times h}{2}[/tex], onde:
[tex]\begin{cases}\bf{b}=\text{base to tri\^angulo = cateto 1}\\\bf{h}=\text{altura do tri\^angulo = cateto 2}\end{cases}[/tex]
No item acima, vimos que podemos formar dois triângulos retângulos com os pontos A(-3,2) e B(3, -1). Porém, esses dois triângulos são congruentes, ou seja, seus lados têm a mesma medida e sua área é igual. Para fazer os cálculos, vou escolher o triângulo azul.
No triângulo azul, temos:
A fórmula da distância entre pontos é [tex]\bf{D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_y-y_1)^2}}[/tex]. Aplicando nos pontos:
[tex]D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_y-y_1)^2}\\\\D_{AE}=\sqrt{(x_E-x_A)^2+(y_E-y_A)^2} \\\\D_{AE}=\sqrt{3-(-3)^2+(2-2)^2}\\ \\D_{AE}=\sqrt{3+3^2+(0)^2} \\\\D_{AE}=\sqrt{(6)^2} \\\\D_{AE}=\sqrt{36} \\\\\boxed{D_{AE}=6}[/tex]
Portanto, a base do triângulo azul é 6.
[tex]D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_y-y_1)^2}\\\\D_{BE}=\sqrt{(x_E-x_B)^2+(y_E-y_B)^2} \\\\D_{BE}=\sqrt{(3-3)^2+(2-(-1))^2}\\ \\D_{BE}=\sqrt{(0)^2+(2+1)^2} \\\\D_{BE}=\sqrt{(3)^2} \\\\D_{BE}=\sqrt{9} \\\\\boxed{D_{BE}=3}[/tex]
Portanto, a altura do triângulo azul é 3.
[tex]\dfrac{b \times h}{2}=\dfrac{6 \times 3}{2}=\dfrac{18}{2}=\boxed{9}[/tex]
A área do triângulo retângulo formado é 9 unidades de medida ao quadrado.
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