Utilizando a derivada da função área calculamos as medidas do cilindro e, concluímos que, o volume é igual a [tex]1000 \pi[/tex] centímetros cúbicos, alternativa E.

Qual o retângulo com área máxima?

Observe que, como o perímetro do retângulo é igual a 40 centímetros, então, denotando um dos lados desse retângulo por x, temos que, o outro lado mede 20 - x.

Dessa forma, podemos escrever que a área desse retângulo é igual a

[tex]A(x) = x*(20 - x) = -x^2 + 20x [/tex]

Essa função é uma função de segundo grau, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente quadrático é negativo.

Derivando essa função podemos determinar o valor de x para que a área do retângulo seja máxima:

[tex]-2x + 20 = 0 \Rightarrow x = 10[/tex]

Portanto, o retângulo com área máxima é um quadrado de aresta medindo 10 centímetros.

Qual o volume do cilindro?

Dessa forma, temos que, rotacionando esse retângulo em torno de um dos lados iremos obter um cilindro com raio da base medindo 10 centímetros e altura igual a 10 centímetros.

Pela fórmula de volume de um cilindro, podemos escrever:

[tex]10^2 * \pi * 10 = 1000 \pi \; cm^3[/tex]

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