si y est dans f(AUB) alors existe x dans A ou dans B tel que f(x)=y donc xest dans f(A)Uf(B). ET reciproquement si y est dans f(A)Uf(B)  alors existe x dans A ou dans B tel que y=f(x) ce qui dit que y est element de f(AUB)

Pour l'intesection, l'exercice est contradictoire (q2 et q3) : l'égalité n'est vraie que si f est injective...Q2 ne devrait demander que f(AinterB) inclus dans f(A)interf(B)

la fonction "successeur" dans N est une bijection de N sur N* (N est infini)

la fonction réciproque est donc aussi une bijection de N* sur N

Pour n=0 on a bien 0=2-2/1 donc Initialisation correcte

si pour tout m<=n on a la relation alors

sigma(k=0;k=n+1;k/2^k) vaut la somme précédente plus n+1/2^(n+1)

on applique l'hypothese à la somme de 0 à N et on reduit au meme denominateur les fractions (n+2)/2^n e t (n+1)/(2^(n+1)) :

la nouvelle somme vaut  2-(2n+4-n-1)/2^(n+1) ce qui fait bien (2-(n+1)+2)/2^(n+1) CQFD

Pour Un : Initialisation U0=(3^0-1)/2=0 OK 

si pour tout k<=n ona Uk=(3^k-1)/k alors

U(n+1)=4(3^n-1)/2-3(3^(n-1)/2)=3^n(2-1/2)-2+3/2=(3^(n+1)-1)/2 CQFD