Réponse :
Explications étape par étape :
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = x
2 − 4x − 4 ln x
1) Étudier les limites de f en 0 et +∞
2) Déterminer f
′
(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f .
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.
4) À l’aide d’une calculatrice donner un encadrement à 10−3 de ces solutions.
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
1) a) Limite en 0 :
lim
x→0+
x
2 − 4x = 0
−4 ln x = +∞
Par somme
f(x) = +∞
b) Limite en +∞ : forme indéterminée « +∞ − ∞ ». On factorise par x :
f(x) = x
2
1 −
4
− 4 ×
ln x
lim x→+∞
2 = +∞
= 1
2 = 0
Par produit et somme
2) f est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme somme de fonctions dérivables :
f
(x) = 2x − 4 −
=
2x
2 − 4x − 4
2(x
2 − 2x − 2)
• f
(x) = 0
x>0
⇔ x
2 − 2x − 2 = 0 , on a ∆ = 12 = (2
√
3)
on obtient : x1 =
2 + 2
3
= 1 +
3 ou x2 = 1 −
3 < 0 non retenu.
• signe de f(x) = signe de (x
2 − 2x − 2) avec x > 0
on obtient alors le tableau de variation suivant :
(x)
f(x)
0 1+
3 +∞
− 0 +
+∞
≈ −7, 48
α1
0
α2
3) Sur les intervalles I1 =]0 ; 1+
3] et I2 = [1+
3 ; +∞[ la fonction f est conti-
nue, strictement monotone et change de signe donc, d’après le TVI, l’équation
f(x) = 0 admet une unique solution α1 et α2 sur chacun de ces intervalles.
4) À l’aide de l’algorithme de dichotomie, on obtient les encadrements suivants :
On donne a =-3,b=5 et c=4
Calculer A= 2b+3c-a
Exercice 2: la firgure ci-contre n’est pas réalisée en vraie grandeur on a (RS)//(JK);
RT=12cm; JT=2cm;
RS=9cm et TK=4cm
1.calculer les longueurs ST et KJ
2. Calculer le périmètre du quadrilatère RSJK.
Exercice 3
1.un article à 30€ bénéficie d’une réduction de 15% combien coûte-t-il après réduction?
2.le tableau ci-contre contruit dans une feuille de calcul,résume la situation.
a.dans les 3 propositions ci-dessus,quelle est la bonne formule à écrire dans la cellule b2? —->>15/100*30 ou =15/100*b1 ou 15/100*b1
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Réponse :
Explications étape par étape :
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = x
2 − 4x − 4 ln x
1) Étudier les limites de f en 0 et +∞
2) Déterminer f
′
(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f .
3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.
4) À l’aide d’une calculatrice donner un encadrement à 10−3 de ces solutions.
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1) a) Limite en 0 :
lim
x→0+
x
2 − 4x = 0
lim
x→0+
−4 ln x = +∞
Par somme
lim
x→0+
f(x) = +∞
b) Limite en +∞ : forme indéterminée « +∞ − ∞ ». On factorise par x :
f(x) = x
2
1 −
4
x
− 4 ×
ln x
x
2
lim x→+∞
x
2 = +∞
lim x→+∞
1 −
4
x
= 1
lim x→+∞
ln x
x
2 = 0
Par produit et somme
lim x→+∞
f(x) = +∞
2) f est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme somme de fonctions dérivables :
f
′
(x) = 2x − 4 −
4
x
=
2x
2 − 4x − 4
x
=
2(x
2 − 2x − 2)
x
• f
′
(x) = 0
x>0
⇔ x
2 − 2x − 2 = 0 , on a ∆ = 12 = (2
√
3)
2
on obtient : x1 =
2 + 2
√
3
2
= 1 +
√
3 ou x2 = 1 −
√
3 < 0 non retenu.
• signe de f(x) = signe de (x
2 − 2x − 2) avec x > 0
on obtient alors le tableau de variation suivant :
x
f
′
(x)
f(x)
0 1+
√
3 +∞
− 0 +
+∞
≈ −7, 48
+∞
α1
0
α2
0
3) Sur les intervalles I1 =]0 ; 1+
√
3] et I2 = [1+
√
3 ; +∞[ la fonction f est conti-
nue, strictement monotone et change de signe donc, d’après le TVI, l’équation
f(x) = 0 admet une unique solution α1 et α2 sur chacun de ces intervalles.
4) À l’aide de l’algorithme de dichotomie, on obtient les encadrements suivants :
On donne a =-3,b=5 et c=4
Calculer A= 2b+3c-a
Exercice 2: la firgure ci-contre n’est pas réalisée en vraie grandeur on a (RS)//(JK);
RT=12cm; JT=2cm;
RS=9cm et TK=4cm
1.calculer les longueurs ST et KJ
2. Calculer le périmètre du quadrilatère RSJK.
Exercice 3
1.un article à 30€ bénéficie d’une réduction de 15% combien coûte-t-il après réduction?
2.le tableau ci-contre contruit dans une feuille de calcul,résume la situation.
a.dans les 3 propositions ci-dessus,quelle est la bonne formule à écrire dans la cellule b2? —->>15/100*30 ou =15/100*b1 ou 15/100*b1