Réponse:

En considérant les deux cas, on peut conclure que (n + 1)(n + 2) est pair pour tout entier naturel n.

Explications étape par étape:

1. Cas où n est pair :

Supposons que n soit pair, c'est-à-dire qu'il puisse s'écrire sous la forme n = 2k, où k est un entier. Dans ce cas, (n + 1)(n + 2) devient (2k + 1)(2k + 2).

On peut développer cette expression en utilisant la distributivité : (2k + 1)(2k + 2) = 4k² + 6k + 2.

On peut factoriser cette expression en utilisant le facteur commun 2 : 4k² + 6k + 2 = 2(2k² + 3k + 1).

Comme 2 est un facteur commun, cela signifie que (n + 1)(n + 2) est pair lorsque n est pair.

2. Cas où n est impair :

Supposons maintenant que n soit impair, c'est-à-dire qu'il puisse s'écrire sous la forme n = 2k + 1, où k est un entier. Dans ce cas, (n + 1)(n + 2) devient (2k + 1 + 1)(2k + 1 + 2).

On peut développer cette expression en utilisant la distributivité : (2k + 2)(2k + 3) = 4k² + 10k + 6.

On peut factoriser cette expression en utilisant le facteur commun 2 : 4k² + 10k + 6 = 2(2k² + 5k + 3).

Comme 2 est un facteur commun, cela signifie que (n + 1)(n + 2) est pair lorsque n est impair.