j’ai besoin de votre aide pour l’exercice 89 svp.... Pergunta de ideia delnaaya

lnaaya @lnaaya

December 2020 1 50 Report

j’ai besoin de votre aide pour l’exercice 89 svp

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

Exercice 89

1) Les points M et M' appartiennent à la parabole d'équation $x \mapsto -\frac{1}{2}x^{2}$ , donc $M(a;-\frac{1}{2}a^{2})$ , M' est le symétrique de M, par rapport à l'axe des ordonnées du repère , donc $M(-a;-\frac{1}{2}a^{2})$ .

2) La tangente (BM) est la tangente à la parabole au point d'abscisse $a$ , donc une équation de (BM) est:

$x \mapsto -ax+\frac{a^{2}}{2}$ .

La tangente (BM') est la tangente à la parabole au point d'abscisse $-a$ , donc une équation de (BM') est:

$x \mapsto -(-a)x+\frac{(-a)^{2}}{2}=ax+\frac{a^{2}}{2}$

3) Le point S est l'intersection des tangentes (BM) et (BM'), donc l'abscisse $x$ du point S est solution de l'équation:

$-ax+\frac{a^{2}}{2}=ax+\frac{a^{2}}{2}\\-ax-ax=0\\-2ax=0\\x=0$ .

L'ordonnée du point S est l'image de 0, par l'équation de l'une des tangentes, on prend l'équation de (BM) (mais on aurait pu prendre l'équation de (BM')):

$-a \times 0+\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}$ .

Donc l'ordonnée du point S est $\frac{a^{2}}{2}$ .

4) On suppose que le triangle MM'S est rectangle en S. On applique donc le théorème de Pythagore dans ce triangle:

$MM'^{2}=MS^{2}+M'S^{2}\\MS^{2}=(0-a)^{2}+(\frac{a^{2}}{2}-(-\frac{1}{2}a^{2}))^{2}=a^{2}+a^{4}\\M'S^{2}=(0-(-a))^{2}+(\frac{a^{2}}{2}-(-\frac{1}{2}a^{2}))^{2}=a^{2}+a^{4}\\MM'^{2}=(-a-a)^{2}+(-\frac{1}{2}a^{2}-(-\frac{1}{2}a^{2}))^{2}=(-2a)^{2}=4a^{2}\\Donc \; 4a^{2}=2a^{2}+2a^{4}\\2a^{2}=2a^{4}\\2a^{4}-2a^{2}=0\\2(a^{4}-a^{2})=0\\2(a^{2}(a^{2}-1))=0\\a^{2}(a^{2}-1)=0$ .

Donc si le triangle MM'S est rectangle en S, alors nécessairement $a^{2}(a^{2}-1)=0$ .

Supposons maintenant que $a^{2}(a^{2}-1)=0$ , alors d'après ce qui précède:

$MS^{2}=a^{2}+a^{4}\\M'S^{2}=a^{2}+a^{4}\\MM'^{2}=4a^{2}\\MM'^{2}-MS^{2}-M'S^{2}=4a^{2}-2a^{2}-2a^{4}=2a^{2}-2a^{4}=2(a^{2}-a^{4})=2(a^{2}(1-a^{2}))=0$ .

Par hypothèse, $a^{2}(a^{2}-1)=0$ , et les racines de $a^{2}-1$ et $1-a^{2}$ , sont les mêmes, donc :

$MM'^{2}-MS^{2}-M'S^{2}=2(a^{2}(1-a^{2}))^{2}=0$ .

Donc $MM'^{2}=MS^{2}+M'S^{2}$ , d'après la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle MM'S est rectangle en S.

Par suite, le triangle MM'S est rectangle en S, si et seulement si $a^{2}(a^{2}-1)=0$ .

5) Les deux poutres sont perpendiculaires si et seulement si:

$a^{2}(a^{2}-1)=0\\a^{2}(a-1)(a+1)=0\\a=0 \quad ou \quad a=1 \quad a=-1$ .

Comme $a \ne 0$ , alors il faut faire reposer une poutre au point d'abscisse -1 et l'autre poutre au point d'abscisse 1.

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