Bonjour,
Pour k entier supérieur à 2, nous avons
[tex]\dfrac1{k^2-1}=\dfrac1{(k-1)(k+1)}=\dfrac1{2}\left(\dfrac1{k-1}-\dfrac1{k+1} \right)[/tex]
De ce fait,
[tex]\displaystyle \sum_{k=2}^n\dfrac1{k^2-1}= \dfrac1{2} \cdot \sum_{k=2}^n\left( \dfrac1{k-1}-\dfrac1{k+1}\right)[/tex]
On reconnait une somme télescopique, donc
[tex]\displaystyle \sum_{k=2}^n\dfrac1{k^2-1}= \dfrac{1}{2} \cdot \left(1+\dfrac1{2}-\dfrac1{n}-\dfrac1{n+1}\right )\\\\=\dfrac{2n(n+1)+n(n+1)-2(n+1)-2n}{4n(n+1)}\\\\=\dfrac{2n^2+2n+n^2+n-2n-2-2n}{4n(n+1)}\\\\=\dfrac{3n^2-n-2}{4n(n+1)}\\\\=\dfrac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}\\\\[/tex]
d'où le résultat.
Si tu as besoin d'aide pour la récurrence, poses une autre question.
De manière générale, évites de poser des questions trop longues si tu veux augmenter les chances d'avoir des réponses.
Merci
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Bonjour,
Pour k entier supérieur à 2, nous avons
[tex]\dfrac1{k^2-1}=\dfrac1{(k-1)(k+1)}=\dfrac1{2}\left(\dfrac1{k-1}-\dfrac1{k+1} \right)[/tex]
De ce fait,
[tex]\displaystyle \sum_{k=2}^n\dfrac1{k^2-1}= \dfrac1{2} \cdot \sum_{k=2}^n\left( \dfrac1{k-1}-\dfrac1{k+1}\right)[/tex]
On reconnait une somme télescopique, donc
[tex]\displaystyle \sum_{k=2}^n\dfrac1{k^2-1}= \dfrac{1}{2} \cdot \left(1+\dfrac1{2}-\dfrac1{n}-\dfrac1{n+1}\right )\\\\=\dfrac{2n(n+1)+n(n+1)-2(n+1)-2n}{4n(n+1)}\\\\=\dfrac{2n^2+2n+n^2+n-2n-2-2n}{4n(n+1)}\\\\=\dfrac{3n^2-n-2}{4n(n+1)}\\\\=\dfrac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}\\\\[/tex]
d'où le résultat.
Si tu as besoin d'aide pour la récurrence, poses une autre question.
De manière générale, évites de poser des questions trop longues si tu veux augmenter les chances d'avoir des réponses.
Merci