greencalogero
Bonsoir, ex 1: On vérifie que la relation est vraie au rang n=2: (2+1)/(2×2)=3/4 (1-1/2^2)=1-1/4=3/4 donc vraie au rang 2 On suppose que la relation est vraie au rang n. On va alors vérifier qu'elle est vraie au rang n+1 donc: (1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/n^2)(1-1/(n+1)^2) =((n+1)/2n)(1-1/(n+1)^2) =(n+1)/2n-(n+1)/(2n (n+1)^2) =(n+1)/2n-1/(2n (n+1)) =((n+1)^2-1)/(2n (n+1)) =(n^2+2n+1-1)/(2n(n+1)) =n(n+2)/(2n(n+1)) =(n+2)/(2 (n+1)) La relation de départ supposée vraie au rang n implique qu'elle soit vraie au rang n+1----> CQFD
Ex 2: 1) je te laisse les calculs mais tu vas constater que P0,P1 et P2 sont fausses mais P3 est vraie
2) On vérifie que P3 est vraie donc 1 nous dit que c'est le cas. On suppose que P (n) est vraie au rang n. On va vérifier que c'est vraie au rang n+1. 3×3^(n)>3(n+2)^2 3^(n+1)>3(n^2+4n+4) 3^(n+1)>3n^2+12n+12 3^(n+1)>2n^2+6n+3+n^2+6n+9 3^(n+1)>(n+3)^2+2n^2+6n+3 donc 3^(n+1)>(n+3)^2 donc la relation supposée vraie au rang n est vraie au rang n+1------> CQFD
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ex 1:
On vérifie que la relation est vraie au rang n=2:
(2+1)/(2×2)=3/4
(1-1/2^2)=1-1/4=3/4 donc vraie au rang 2
On suppose que la relation est vraie au rang n. On va alors vérifier qu'elle est vraie au rang n+1 donc:
(1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/n^2)(1-1/(n+1)^2)
=((n+1)/2n)(1-1/(n+1)^2)
=(n+1)/2n-(n+1)/(2n (n+1)^2)
=(n+1)/2n-1/(2n (n+1))
=((n+1)^2-1)/(2n (n+1))
=(n^2+2n+1-1)/(2n(n+1))
=n(n+2)/(2n(n+1))
=(n+2)/(2 (n+1))
La relation de départ supposée vraie au rang n implique qu'elle soit vraie au rang n+1----> CQFD
Ex 2:
1) je te laisse les calculs mais tu vas constater que P0,P1 et P2 sont fausses mais P3 est vraie
2) On vérifie que P3 est vraie donc 1 nous dit que c'est le cas.
On suppose que P (n) est vraie au rang n. On va vérifier que c'est vraie au rang n+1.
3×3^(n)>3(n+2)^2
3^(n+1)>3(n^2+4n+4)
3^(n+1)>3n^2+12n+12
3^(n+1)>2n^2+6n+3+n^2+6n+9
3^(n+1)>(n+3)^2+2n^2+6n+3 donc
3^(n+1)>(n+3)^2
donc la relation supposée vraie au rang n est vraie au rang n+1------> CQFD