Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Tu t'y prends tard !!

2)

En vecteurs :

AB(5-3;-1-3) ==>AB(2;-4)

BC(1-5;-3+1) ==>BC(-4;-2)

Donc :

AB²=2²+(-4)²=20

BC²=(-4)²+(-2)²=20

Comme il s'agit de mesure , AB²=BC² implique AB=BC ( en mesures).

Donc ABC est isocèle en B.

Vect AC(1-3;-3-3) ==>AC(-2;-6) donc :

AC²=(-2)²+(-6)²=40

Par ailleurs : AB²+BC²=20+20=40

Donc AC²=AB²+BC²

D'après la réciproque de Pythagore , ABC est rectangle en B.

Donc ABC rectangle-isocèle en B.

3)

xI=(xA+xC)/2=(3+1)/2=2 et idem yI.

On trouve : I(2;0)

4)

Donc I est le milieu de [BD]. OK ?

xI=(xB+xD)/2 et idem pour yI=....

Ce qui donne :

2=(5+xD)/2 ==>xD=4-5=-1

0=(-1+yD)/2 ==>yD=1

Donc :

D(-1;1)

5)

Un quadrilatère n'est jamais isocèle !!!

ABCD a ses diagonales qui se soupent en leur milieu I : c'est donc un parallélogramme.

Ce parallélogramme a un angle droit en B : c'est donc un rectangle.

Ce rectangle a 2côtés [AB) et [CD] consécutifs de même mesure : c'est donc un carré!

6)

a)

En  vecteurs :

DA(3+1;3-1) ==>DA(4;2)

AE(5-3;4-3) ==>AE(2;1)

2AE(4;2)

Donc :

DA=2AE

qui, prouve que les vecteurs DA et AE sont colinéaires avec A en commun.

Donc les points D, A et E sont alignés.

b)

On sait que ABCD est un carré donc l'angle DAB est droit et donc la droite (DE) est perpendiculaire à [BA] qui est un rayon du cercle C , ce qui prouve que (DE) est la tangente à C en A.

7)

a)

En vecteurs :

BF(7-5;3+1) ==>BF(2;4) donc :

BF²=2²+4²=20

Donc BF=BA ( en mesures ) donc F sur le cercle C.

b)

Il faut montrer que le triangle EFB est rectangle en F.

En vecteurs :

EF(7-5;3-4) ==>EF(2;-1) donc EF²=2²+(-1)²=5

BE(5-5;4+1) ==>BE(0;5) donc BE²=0²+5²=25

BF²=20 ( voir 7)a))

BF²+EF²=20+5=25

Donc :

BE²=BF²+EF²

D'après la réciproque du ..., le triangle EFB est rectangle en F.

Donc (BF) est perpendiculaire à (EF) ; ce qui prouve que (EF) est tangente au cercle C en F.