Sachant que
G, I, K sont alignés
G, H, J sont alignés
(HI)//(JK)
GH = 15,3
IG= 12,9
G
Calculer la longueur du segment [GJ].
(On donnera la réponse sous la forme d'un entier relatif ou d'un nombre décimal arrondi au dixième)
KG = 51,6
G, I, K sont alignés
G, H, J sont alignés
(HI)//(JK)
GH = 15,3
IG= 12,9
G
Calculer la longueur du segment [GJ].
(On donnera la réponse sous la forme d'un entier relatif ou d'un nombre décimal arrondi au dixième)
KG = 51,6
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∠IHG = ∠KJG
Les points G, I et K sont alignés, donc :
∠IHG + ∠IGH + ∠KJG = 180°
De même, les points G, H et J sont alignés, donc :
∠IGH + ∠HGJ + ∠KJG = 180°
En combinant les deux dernières équations, on a :
∠IHG + ∠KJG + ∠HGJ = 360°
Comme ∠IHG = ∠KJG, on a :
2∠IHG + ∠HGJ = 360°
∠HGJ = 360° - 2∠IHG
On a aussi :
∠IGH + ∠IHG = 180°
∠HGJ + ∠KJG = 180°
Donc :
∠IGH + ∠IHG + ∠HGJ + ∠KJG = 360°
En remplaçant ∠HGJ par 360° - 2∠IHG, on a :
∠IGH + ∠IHG + 360° - 2∠IHG + ∠KJG = 360°
∠IGH + ∠KJG - ∠IHG = 0
∠IGH + ∠KJG = ∠IHG
Comme HI // JK, on a :
∠IGH = ∠GJK
De plus, les angles d'un même arc sont égaux, donc :
∠GJK = ∠GIK
Donc :
∠IGH + ∠KJG = ∠GIK
En utilisant la propriété des angles alternes-internes, on a :
∠KJG = ∠GKI
En combinant les deux dernières équations, on a :
∠IGH + ∠GKI = ∠GIK
Donc les points H, G, I et K sont cocycliques.
Par conséquent, on peut utiliser le théorème de Ptolémée pour le quadrilatère HGIK :
GH × IK + HG × KI = GI × HK
En remplaçant les valeurs connues, on a :
15,3 × IK + 12,9 × KI = 51,6 × HK
28,2 × KI = 51,6 × HK
KI/HK = 1,83
Comme IK + KI = 51,6, on a IK = 51,6/(1 + 1,83) = 18
En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle HGI, on a :
(GJ + GH)/IG = KI/GH
GJ + 15,3 = 12,9 × 51,6/15,3
GJ + 15,3 = 43,8
GJ = 28,5
Donc la longueur du segment [GJ] est égale à 28,5.