La suite (Un) est définie par U0 = 2 et par Un+1 = Un + 2n + 3 pour tout entier naturel n. 1. Calculer U1 et U3.
2. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
3. Etudier les variations de (Un).
2. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
3. Etudier les variations de (Un).
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Réponse :
1. Pour calculer U1, on utilise la formule Un+1 = Un + 2n + 3 en prenant n = 0 :
U1 = U0 + 2(0) + 3 = 2 + 3 = 5
Pour calculer U3, on utilise la même formule en prenant n = 2 :
U3 = U2 + 2(2) + 3 = (U1 + 2(1) + 3) + 2(2) + 3 = U1 + 2(3) + 3 = 5 + 6 + 3 = 14
Ainsi, on a U1 = 5 et U3 = 14.
2. Pour savoir si la suite est arithmétique ou géométrique, il faut vérifier si la différence entre deux termes consécutifs est constante (dans le cas d'une suite arithmétique) ou si le rapport entre deux termes consécutifs est constant (dans le cas d'une suite géométrique).
On calcule la différence entre deux termes consécutifs :
Un+1 - Un = (Un + 2n + 3) - Un = 2n + 3
Comme 2n + 3 dépend de n, la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante. Par conséquent, la suite n'est pas arithmétique.
On calcule le rapport entre deux termes consécutifs :
(Un+1) / Un = (Un + 2n + 3) / Un = 1 + 2n/Un + 3/Un
Comme 2n/Un et 3/Un dépendent de n, le rapport entre deux termes consécutifs n'est pas constant. Par conséquent, la suite n'est pas géométrique.
3. Pour étudier les variations de la suite (Un), on calcule la différence entre deux termes consécutifs :
Un+1 - Un = 2n + 3 > 0
On a donc Un+1 > Un. Ainsi par définition, (Un) est croissante.