Leis de Moivre, me ajudem, não entendo! D:
Aplique a primeira lei de Moivre:
a) (3+ raiz de 3i)^5
b) (2 raiz de 3 + 2i) 4
Aplicando a segunda lei de Moivre:
a) calcule as raizes quadradas de i.
b) calcule as raizes cúbicas de 8.
Aplique a primeira lei de Moivre:
a) (3+ raiz de 3i)^5
b) (2 raiz de 3 + 2i) 4
Aplicando a segunda lei de Moivre:
a) calcule as raizes quadradas de i.
b) calcule as raizes cúbicas de 8.
Lista de comentários
Primeiro calcula o módulo de z =
|z|=√( (3)²+(√3)² ) => |z|=√( 9+3) => |z|=√12 => |z|= √2².3 =>|z|= 2√3
Agora é só calcular o seno e o cosseno .
Para o cosseno divida a parte real pelo módulo encontrado.
cosФ= 3 = 3 . 2√3 = 6√3 = √3
2√3 2√3 2√3 12 2
Para o seno divida a parte imaginária pelo módulo encontrado.
sen Ф= √3 = 1
2√3 2
Avaliando os resultados de cosseno √3 /2 e seno 1/2 no círculo trigonométrico o angulo será de 30· ou π/6.
Agora vamos escrever o número na forma trigonométrica:
z= 2√3 (cos π + i sen π )
6 6
Agora vamos aplicar a fórmula de Moivre: z²= p²(cos (2Ф) + i sen (2Ф) )
zˆ5 = (2√3)ˆ5 (cos 5π + i sen 5π )
6 6
zˆ5= 498,83 ( -0,86 + 0,5i )
zˆ5= -432 + 294,41i
b)
Primeiro calcula o módulo de z =
|z|=√( (2√3)²+(2)² ) => |z|=√( 12+4) => |z|=√16 => |z|= 4
Agora é só calcular o seno e o cosseno .
Para o cosseno divida a parte real pelo módulo encontrado.
cosФ= 2√3 = √3
4 2
Para o seno divida a parte imaginária pelo módulo encontrado.
sen Ф= 2 = 1
4 2
Avaliando os resultados de cosseno √3 /2 e seno 1/2 no círculo trigonométrico o angulo será de 30· ou π/6.
Agora vamos escrever o número na forma trigonométrica:
z= 4 (cos π + i sen π )
6 6
Agora vamos aplicar a fórmula de Moivre: z²= p²(cos (2Ф) + i sen (2Ф) )
zˆ4 = 4ˆ4 (cos 4π + i sen 4π )
6 6
zˆ5= 256 ( -0,5 + 0,86i )
zˆ5= -128 + 221,70i
Conferi a resposta e estão corretas. :D
2a)
|z| = √0²+1² => |z|=1
cosФ = 0/1 = 0
senФ = 1/1 = 1
Ф = π/2
z= 1 (cosπ/2 + isenπ/2)
Aplicando a segunda fórmula de Moivre:
zw= √1 (cosπ/2 + 2kπ) + (isen π/2 + 2kπ))
2 2
Atribuindo k=0
z0 = √1 ( (cos π/2 + 2.0π) + ( isenπ/2 + 2.0.π)
2 2
z0=1 (cos π/4) + (isen π/4))
z0 = √2/2 + √2/2i
Atribuindo k=1
z1 = √1 ( (cos π/2 + 2.1π) + ( isenπ/2 + 2.1.π)
2 2
z1=1 (cos 5π/4) + (isen 5π/4))
z1 = -√2/2 - √2/2i
b)
|z| = √8²+0² => |z|=8
cosФ = 8/8 = 1
senФ = 0/8 = 0
Ф = 0π
z= 8 (cos0π + isen0π)
Aplicando a segunda fórmula de Moivre:
zw= ³√8 (cos0π + 3kπ) + (isen 0π + 3kπ))
3 3
Atribuindo k=0
z0 = ³√8 ( (cos 0π + 3.0.0π) + ( isen0π + 3.0.0π)
3 3
z0=2 (cos 0 + 0i)
z0 = 2(1 + 0i)
z0 = 2
Atribuindo k=1
z1 = ³√8 ( (cos 0π + 3.1.0π) + ( isen0π + 3.1.0π)
3 3
z1=2 (cos 0 + 0i)
z1 = 2(1 + 0i)
z1 = 2
Atribuindo k=2
z2 = ³√8 ( (cos 0π + 3.2.0π) + ( isen0π + 3.2.0π)
3 3
z2=2 (cos 0 + 0i)
z2 = 2(1 + 0i)
z2 = 2