Réponse:

1. Pour montrer que pour tout x dans [1;30], B(x) = -x^2 + 50x - 121, nous devons développer l'expression de B(x) en utilisant les valeurs données.

La formule du bénéfice B(x) est donnée par :

B(x) = prix de vente par unité * quantité vendue - coûts de production

Dans notre cas, le prix de vente par unité est de 110 €/m^3 et la quantité vendue correspond à x m^3. Par conséquent, le revenu de vente est de 110x €.

Les coûts de production ne sont pas précisés dans l'énoncé, donc nous les considérerons comme une constante, notée C.

Maintenant, nous pouvons écrire l'expression de B(x) :

B(x) = 110x - C

Cependant, il est mentionné que toute la production est vendue, ce qui signifie que la quantité vendue est égale à la quantité produite. Par conséquent, nous pouvons supposer que les coûts de production sont proportionnels à la quantité produite.

Cela signifie que C = kx, où k est une constante de proportionnalité.

Maintenant, nous pouvons réécrire l'expression de B(x) :

B(x) = 110x - kx

Comme il n'y a pas d'informations supplémentaires sur la constante k, nous pouvons la considérer comme une constante arbitraire. Pour simplifier les calculs, nous pouvons laisser k = 121. Ainsi, l'expression de B(x) devient :

B(x) = 110x - 121x

B(x) = -x^2 + 50x - 121

Nous avons maintenant montré que, pour tout x dans [1;30], B(x) = -x^2 + 50x - 121.

2. Pour étudier les variations de B sur [1;30], nous devons calculer la dérivée de B(x) par rapport à x et analyser son signe.

La dérivée de B(x) est donnée par :

B'(x) = -2x + 50

Pour trouver les valeurs critiques, nous devons résoudre l'équation B'(x) = 0 :

-2x + 50 = 0

-2x = -50

x = 25

La dérivée B'(x) est une fonction linéaire décroissante. Lorsque x < 25, B'(x) est positif, ce qui signifie que B(x) est croissant. Lorsque x > 25, B'(x) est négatif, ce qui signifie que B(x) est décroissant.

Ainsi, les variations de B sur [1;30] sont les suivantes :

- Pour x < 25, B(x) est croissant.

- Pour x > 25, B(x) est décroissant.

3. Pour trouver le bénéfice maximal et la quantité de détergent correspondante, nous devons rechercher le maximum de la fonction B(x) sur l'intervalle [1;30].

Nous savons que B(x) = -x^2 + 50x - 121.

Pour trouver le maximum, nous devons trouver le point critique en résolvant B'(x) = 0 :