1) La limite de la fonction f en 0 peut être trouvée en utilisant la définition de la limite. On a : lim x→0+ In(x) = -∞
Cela signifie que la fonction f tend vers -∞ lorsque x tend vers 0 par la droite.
2) Pour résoudre l'inéquation 1-In(x) > 0, nous devons isoler la variable In(x) : 1-In(x) > 0
-In(x) > -1
In(x) < 1
En prenant l'exponentielle des deux côtés, on obtient :
x < e
Ainsi, la solution de l'inéquation est l'intervalle (0,e).
3) La fonction dérivée de f est donnée par : f'(x) = 1/x pour tout x > 0
La fonction dérivée est positive pour tout x > 0, ce qui signifie que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle (0, +∞).
4) Étant donné que la fonction f est strictement croissante sur (0, +∞), elle n'a pas de maximum ni de minimum locaux. De plus, comme la limite de f en 0 est -∞, la fonction f n'a pas de maximum global. En revanche, la fonction f n'a pas de minimum global car elle peut prendre des valeurs arbitrairement grandes.
Exercice 12
1a) Pour déterminer la limite de f en -1,5 et en +∞, on utilise les propriétés de la fonction logarithme népérien ln(x). On a : lim x→-1,5+ 2x+3 > 0, donc ln(2x+3) tend vers -∞ quand x tend vers -1,5+.
lim x→+∞ 2x+3 = +∞, donc ln(2x+3) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
b) On en déduit que la droite d'équation x=-3/2 est une asymptote verticale à la courbe C.
a) La fonction dérivée de f est donnée par : f'(x) = 2/(2x+3).
b) Pour tout x € ]-1,5; + co [, on a 2x+3 > 0, donc f'(x) > 0. La fonction f est donc strictement croissante sur son ensemble de définition.
a) Pour résoudre l'équation f(x) = 0, on résout l'équation ln(2x+3) = 0, ce qui donne 2x+3 = 1. On en déduit que x = -1. b) Pour déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d'abscisse -1, on calcule la valeur de la pente de la tangente en ce point, qui est égale à la valeur de la dérivée en x = -1 :
f'(-1) = 2/(2*(-1)+3) = -2.
La pente de la tangente est donc -2. On cherche ensuite l'équation de la droite de pente -2 passant par le point de coordonnées (-1, ln(2)), qui appartient à la courbe C. Cette droite a pour équation :
y - ln(2) = -2(x+1),
soit y = -2x - ln(2) - 2.
L'équation de la tangente (T) est donc y = -2x - ln(2) - 2.
Le tableau de variations de f est donné par : x f'(x) Signe de f'(x) Variations de f x < -1,5 décroissante -1,5 < x f'(x) = 2/(2x+3) strictement croissante croissante Pour étudier la convexité de f sur ]-1,5;+∞[, on calcule la dérivée seconde de f : f''(x) = -4/(2x+3)².
On remarque que pour tout x € ]-1,5;+∞[, 2x+3 > 0, donc f''(x) < 0. La fonction f est donc concave sur tout son ensemble de définition.
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Exercice 11:
1) La limite de la fonction f en 0 peut être trouvée en utilisant la définition de la limite. On a :
lim x→0+ In(x) = -∞
Cela signifie que la fonction f tend vers -∞ lorsque x tend vers 0 par la droite.
2) Pour résoudre l'inéquation 1-In(x) > 0, nous devons isoler la variable In(x) :
1-In(x) > 0
-In(x) > -1
In(x) < 1
En prenant l'exponentielle des deux côtés, on obtient :
x < e
Ainsi, la solution de l'inéquation est l'intervalle (0,e).
3) La fonction dérivée de f est donnée par :
f'(x) = 1/x pour tout x > 0
La fonction dérivée est positive pour tout x > 0, ce qui signifie que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle (0, +∞).
4) Étant donné que la fonction f est strictement croissante sur (0, +∞), elle n'a pas de maximum ni de minimum locaux. De plus, comme la limite de f en 0 est -∞, la fonction f n'a pas de maximum global. En revanche, la fonction f n'a pas de minimum global car elle peut prendre des valeurs arbitrairement grandes.
Exercice 12
1a) Pour déterminer la limite de f en -1,5 et en +∞, on utilise les propriétés de la fonction logarithme népérien ln(x). On a :
lim x→-1,5+ 2x+3 > 0, donc ln(2x+3) tend vers -∞ quand x tend vers -1,5+.
lim x→+∞ 2x+3 = +∞, donc ln(2x+3) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
b) On en déduit que la droite d'équation x=-3/2 est une asymptote verticale à la courbe C.
a) La fonction dérivée de f est donnée par :
f'(x) = 2/(2x+3).
b) Pour tout x € ]-1,5; + co [, on a 2x+3 > 0, donc f'(x) > 0. La fonction f est donc strictement croissante sur son ensemble de définition.
a) Pour résoudre l'équation f(x) = 0, on résout l'équation ln(2x+3) = 0, ce qui donne 2x+3 = 1. On en déduit que x = -1.
b) Pour déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d'abscisse -1, on calcule la valeur de la pente de la tangente en ce point, qui est égale à la valeur de la dérivée en x = -1 :
f'(-1) = 2/(2*(-1)+3) = -2.
La pente de la tangente est donc -2. On cherche ensuite l'équation de la droite de pente -2 passant par le point de coordonnées (-1, ln(2)), qui appartient à la courbe C. Cette droite a pour équation :
y - ln(2) = -2(x+1),
soit y = -2x - ln(2) - 2.
L'équation de la tangente (T) est donc y = -2x - ln(2) - 2.
Le tableau de variations de f est donné par :
x f'(x) Signe de f'(x) Variations de f
x < -1,5 décroissante
-1,5 < x f'(x) = 2/(2x+3) strictement croissante croissante
Pour étudier la convexité de f sur ]-1,5;+∞[, on calcule la dérivée seconde de f :
f''(x) = -4/(2x+3)².
On remarque que pour tout x € ]-1,5;+∞[, 2x+3 > 0, donc f''(x) < 0. La fonction f est donc concave sur tout son ensemble de définition.