Para calcular a soma dos números naturais de 1 a 10, podemos usar a seguinte fórmula:
S = n(n + 1)/2
onde:
S é a soma dos números naturais
n é o número final da sequência
No caso, n = 10. Portanto, a soma é:
S = 10 * (10 + 1)/2
S = 10 * 11/2
S = 110/2
S = 55
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.
Explicação:
A fórmula S = n(n + 1)/2 funciona porque ela calcula a soma de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois números consecutivos é constante. No caso da sequência de números naturais de 1 a 10, a diferença entre dois números consecutivos é 1.
A fórmula S = n(n + 1)/2 pode ser provada usando o princípio da indução matemática.
Princípio da indução matemática:
Se uma afirmação P(n) é verdadeira para todo número natural n >= k, então P(n) é verdadeira para todo número natural n.
Demonstração:
Afirmação P(n): A soma dos números naturais de 1 a n é n(n + 1)/2.
Base da indução:
Para n = 1, a soma é 1(1 + 1)/2 = 1/2.
1/2 = 1/2
Portanto, a afirmação P(1) é verdadeira.
Hipótese de indução:
Suponha que a afirmação P(n) seja verdadeira para um número natural n >= 1.
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a n é n(n + 1)/2.
Passo indutivo:
Vamos mostrar que P(n + 1) é verdadeira.
A soma dos números naturais de 1 a n + 1 é:
S = (1 + 2 + ... + n) + (n + 1)
Usando a hipótese de indução, podemos escrever:
S = n(n + 1)/2 + (n + 1)
Expandindo, temos:
S = (n^2 + n)/2 + (n + 1)
Agrupando os termos, temos:
S = n^2/2 + n/2 + n + 1/2
Usando a identidade a2 + b2 = (a + b)^2 - 2ab, temos:
S = (n + 1/2)^2 - (n + 1/2)
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a n + 1 é (n + 1)(n + 1)/2 - (n + 1)/2 = (n + 1)^2/2 - (n + 1)/2 = (n + 1)(n + 1 - 1)/2 = (n + 1)(n)/2.
Portanto, a afirmação P(n + 1) é verdadeira.
Conclusão:
A afirmação P(n) é verdadeira para todo número natural n >= 1. Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.
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luizansantos1
obrigada pelo texto explicando mas eu não consegui entender, vc poderia só responder as questões de verdadeiro ou falso e a tabela se for possível?
Lista de comentários
Explicação passo a passo:Resultado:
A soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.
Como fazer a conta:
Para calcular a soma dos números naturais de 1 a 10, podemos usar a seguinte fórmula:
S = n(n + 1)/2
onde:
S é a soma dos números naturais
n é o número final da sequência
No caso, n = 10. Portanto, a soma é:
S = 10 * (10 + 1)/2
S = 10 * 11/2
S = 110/2
S = 55
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.
Explicação:
A fórmula S = n(n + 1)/2 funciona porque ela calcula a soma de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois números consecutivos é constante. No caso da sequência de números naturais de 1 a 10, a diferença entre dois números consecutivos é 1.
A fórmula S = n(n + 1)/2 pode ser provada usando o princípio da indução matemática.
Princípio da indução matemática:
Se uma afirmação P(n) é verdadeira para todo número natural n >= k, então P(n) é verdadeira para todo número natural n.
Demonstração:
Afirmação P(n): A soma dos números naturais de 1 a n é n(n + 1)/2.
Base da indução:
Para n = 1, a soma é 1(1 + 1)/2 = 1/2.
1/2 = 1/2
Portanto, a afirmação P(1) é verdadeira.
Hipótese de indução:
Suponha que a afirmação P(n) seja verdadeira para um número natural n >= 1.
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a n é n(n + 1)/2.
Passo indutivo:
Vamos mostrar que P(n + 1) é verdadeira.
A soma dos números naturais de 1 a n + 1 é:
S = (1 + 2 + ... + n) + (n + 1)
Usando a hipótese de indução, podemos escrever:
S = n(n + 1)/2 + (n + 1)
Expandindo, temos:
S = (n^2 + n)/2 + (n + 1)
Agrupando os termos, temos:
S = n^2/2 + n/2 + n + 1/2
Usando a identidade a2 + b2 = (a + b)^2 - 2ab, temos:
S = (n + 1/2)^2 - (n + 1/2)
Portanto, a soma dos números naturais de 1 a n + 1 é (n + 1)(n + 1)/2 - (n + 1)/2 = (n + 1)^2/2 - (n + 1)/2 = (n + 1)(n + 1 - 1)/2 = (n + 1)(n)/2.
Portanto, a afirmação P(n + 1) é verdadeira.
Conclusão:
A afirmação P(n) é verdadeira para todo número natural n >= 1. Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.