Explicação passo a passo:Resultado:

A soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.

Como fazer a conta:

Para calcular a soma dos números naturais de 1 a 10, podemos usar a seguinte fórmula:

S = n(n + 1)/2

onde:

S é a soma dos números naturais

n é o número final da sequência

No caso, n = 10. Portanto, a soma é:

S = 10 * (10 + 1)/2

S = 10 * 11/2

S = 110/2

S = 55

Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.

Explicação:

A fórmula S = n(n + 1)/2 funciona porque ela calcula a soma de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois números consecutivos é constante. No caso da sequência de números naturais de 1 a 10, a diferença entre dois números consecutivos é 1.

A fórmula S = n(n + 1)/2 pode ser provada usando o princípio da indução matemática.

Princípio da indução matemática:

Se uma afirmação P(n) é verdadeira para todo número natural n >= k, então P(n) é verdadeira para todo número natural n.

Demonstração:

Afirmação P(n): A soma dos números naturais de 1 a n é n(n + 1)/2.

Base da indução:

Para n = 1, a soma é 1(1 + 1)/2 = 1/2.

1/2 = 1/2

Portanto, a afirmação P(1) é verdadeira.

Hipótese de indução:

Suponha que a afirmação P(n) seja verdadeira para um número natural n >= 1.

Portanto, a soma dos números naturais de 1 a n é n(n + 1)/2.

Passo indutivo:

Vamos mostrar que P(n + 1) é verdadeira.

A soma dos números naturais de 1 a n + 1 é:

S = (1 + 2 + ... + n) + (n + 1)

Usando a hipótese de indução, podemos escrever:

S = n(n + 1)/2 + (n + 1)

Expandindo, temos:

S = (n^2 + n)/2 + (n + 1)

Agrupando os termos, temos:

S = n^2/2 + n/2 + n + 1/2

Usando a identidade a2 + b2 = (a + b)^2 - 2ab, temos:

S = (n + 1/2)^2 - (n + 1/2)

Portanto, a soma dos números naturais de 1 a n + 1 é (n + 1)(n + 1)/2 - (n + 1)/2 = (n + 1)^2/2 - (n + 1)/2 = (n + 1)(n + 1 - 1)/2 = (n + 1)(n)/2.

Portanto, a afirmação P(n + 1) é verdadeira.

Conclusão:

A afirmação P(n) é verdadeira para todo número natural n >= 1. Portanto, a soma dos números naturais de 1 a 10 é 55.