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Resposta:

a) (2x + 6) × (2x + 3) = 40m²

b)Sala I: 5×4 metros

Sala II: 3×4 metros

Corredor: 8×1 metro

Cálculos:

1. Área total do escritório (At).

At → A(I) + A(II) + A(c) = 40m²

2. Área da sala I {A(I)}.

A(I) →

[tex](x + 3) \times (x + 4) \\ = {x}^{2} + 4x + 3x + 12 \\ = {x}^{2} + 7x + 12[/tex]

3. Área da sala II {A(II)}.

A(II) →

[tex](x + 3) \times (x + 2) \\ = {x}^{2} + 2x + 3x + 6 \\ = {x}^{2} + 5x + 6[/tex]

4. Área do corredor {A(c)}.

A(c) →

[tex]x \times (2x + 6) \\ = 2 {x}^{2} + 6x[/tex]

5. Desenvolvimento 1 - Equação da Área do escritório (At).

At = A(I) + A(II) + A(c)

At =

[tex] {x}^{2} + 7x + 12 + {x}^{2} + 5x + 6 + 2 {x}^{2} + 6x = 40m^{2} [/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 18x + 18 = 40m^{2} [/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 18x + 18 - 40= 0[/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 18x - 22 = 0[/tex]

6. Desenvolvimento 2 -Valor de x.

[tex]∆ = {18}^{2} - 4 \times 4 \times ( - 22) \\ ∆ = 324 - ( - 352) \\ ∆ = 324 + 352 \\ ∆ = 676[/tex]

[tex]x = \frac{ - 18\pm \sqrt{676} }{2 \times 4} = \frac{ - 18\pm26}{8} \\x_{1} = \frac{ - 18 + 26}{8} = \frac{8}{8} = 1 \\ x_{2} = \frac{ - 18 - 26}{8} = \frac{ - 44}{8} = - 5.5[/tex]

x = 1, pois x deve ser positivo.

7. Dimensão da sala I.

[tex](1 + 4) \times (1 + 3) \\ = 5 \times 4 \: \: metros[/tex]

8. Dimensão da sala II.

[tex](1 + 2) \times (1 + 3) \\ = 3 \times 4 \: \: metros[/tex]

9. Dimensão do corredor.

[tex](2 \times 1 + 6) \times 1\\ = (2 + 6) \times 1\\ = 8 \times 1 \: \: metros[/tex]

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, devemos observar o que seria a área do escritório.

A área do escritório é a junção da área das Salas I, II e do corredor, ou seja, somando as áreas das respectivas salas e do corredor, teremos a área do escritório.

Vamos representar por Símbolos:

Área do escritório: At

Área da Sala I: A(I)

Área da Sala II: A(II)

Área do corredor: A(c)

Portanto, numa equação, teremos:

At = A(I) + A(II) + A(c)

O enunciado nos deu que a área total do escritório é 40m², portanto, a soma das áreas das salas será 40m², ou seja:

A(I) + A(II) + A(c) = 40m²

Agora, devemos encontrar as áreas das respectivas salas, começando pela Sala I.

Para calcularmos a Área de um espaço, devemos multiplicar suas dimensões, a base (b) e a altura (h).

[tex]\boxed{a = b \times h}[/tex]

A base da sala I é de (x + 4) metros e sua altura de (x+3) metros, utilizando a fórmula acima, encontramos que:

A(I) =

[tex](x + 4) \times (x + 3) [/tex]

Utilizamos então a distributiva, portanto:

A(I) =

[tex] {x}^{2} + 4x + 3x + 12[/tex]

Somando os semelhantes:

[tex] {x}^{2} + 7x + 12[/tex]

Encontramos a Área I, agora vamos para a Área II.

Utilizando os mesmos passos da resolução anterior, obtemos o seguinte:

A(II) =

[tex](x + 2) \times (x + 3) \\ = x^{2} + 2x + 3x + 6 \\ = {x}^{2} + 5x + 6[/tex]

E por último, falta apenas a área do corredor, que utilizando os mesmos passos, concluímos que:

A(c) =

[tex]x \times (2x + 6) \\ = 2 {x}^{2} + 6x[/tex]

Agora, para estabelecermos a equação que nos permite calcular as dimensões do escritório, devemos substituir as áreas encontradas na equação inicial:

At = A(I) + A(II) + A(c)

At = x² + 7x + 12 + x² + 5x + 6 + 2x² + 6x

Somando os semelhantes:

4x² + 18x + 18

Sabemos que a soma de todas as áreas é de 40m², portanto:

4x² + 18x + 18 = 40m²

Invertendo o 40 de membro e passando ele subtraindo, obtemos que:

4x² + 18x + 18 - 40 = 0

4x² + 18x - 22 = 0

Com a equação, podemos encontrar o valor de x, que nos permitirá calcular as dimensões de ambas as salas, e isso será possível utilizando a fórmula de Bhaskara, onde:

[tex]\boxed{x = \frac{ - b\pm \sqrt{∆} }{2 \times a} } [/tex]

[tex]\boxed{∆ = {b}^{2} - 4 \times a \times c } [/tex]

Sendo a = 4, b = 18, c = -22

[tex]∆ = {18}^{2} - 4 \times 4 \times ( - 22) \\ ∆ = 324 - ( - 352) \\ ∆ = 324 + 352 \\ ∆ = 676[/tex]

[tex]x = \frac{ - 18\pm \sqrt{676} }{2 \times 4} = \frac{ - 18\pm26}{8} \\x_{1} = \frac{ - 18 + 26}{8} = \frac{8}{8} = 1 \\ x_{2} = \frac{ - 18 - 26}{8} = \frac{ - 44}{8} = - 5.5[/tex]

Como x deve ser positivo, pois não há espaço negativo, obteremos que x = 1 metro.

Com isso, podemos obter as dimensões de cada sala, começando pela Sala I. (Dimensões são bases, alturas, larguras, profundidades, etc.)

Base(b): (x + 4) ⇢ (1 + 4) = 5 metros

Altura(h): (x + 3) ⇢(1 + 3) = 4 metros

Portanto, as dimensões da Sala I são de 5 por 4 metros.

Agora, a Sala II:

Base(b): (x + 2) ⇢(1 + 2) = 3 metros

Altura(h): (x + 3) ⇢(1 + 3) = 4 metros

Portanto, a Sala II possui dimensões de 3 por 4 metros

E por último, o corredor:

Base(b): 2x + 6 ⇢ 2×1 + 6 = 2 + 6 = 8 metros

Altura(h): x ⇢ 1 metro

Portanto, as dimensões do corredor é de 8 por 1 metro.

Espero ter ajudado, qualquer dúvida é só falar!!!