Réponse :

Bonsoir

1)

Dans le triangle rectangle AHC en H, d'après le théorème de Pythagore,

on a :

AH² + HC² = AC² (1)

Dans le triangle rectangle AHB en H, d'après le théorème de Pythagore,

on a :

AH² + HB² = AB²

on a donc AH² = AB² - HB² (2)

On remarque dans le triangle ABC que la hauteur AH est commune

aux deux triangles AHB  et AHC

on peut donc écrire :

(1) AH² + HC² = AC²

or AH² = AB² - HB² (2)

donc on a :

AB² - HB² + HC² = AC²

On a donc AC² = AB² + HC² - HB²

b) On a BC = BH + HC

donc HC = BC - BH

c)

rappel

cosinus d'un angle = coté adjacent / hypoténuse

Dans le triangle rectangle ABH en H,

cos (angle B) = BH /AB

coté adjacent= BH et hypoténuse = AB

d)

d'après la question a) on a

AC² = AB² + HC² - HB²

d'après la question b) on a

HC = BC - BH

d’après la question c), on a

BH = AB × cos (angle B)

On a donc :

AC² = AB² + HC² - HB²

AC² = AB² + (BC - BH)² - HB²

AC² = AB² + BC² - 2 BC × BH  + BH² - BH²

AC² = AB² + BC² - 2 BC × BH  

or BH = AB × cos(angle B)

donc on a

AC² = AB² + BC² - 2 BC × AB × cos(angle B)

AC² = AB² + BC² - 2 AB × BC × cos(angle B)

2)

Dans le triangle ABC, on a

AB= 5 cm, BC = 4 cm et angle B = 30°

On sait que :

AC² = AB² + BC² - 2 AB × BC × cos(angle B)

application numérique

AC² = (5)² + (4)² - 2 (5)×(4)×cos (30°)

AC² = 25 + 16 - 40 cos(30°)

AC² = 41 - 40 cos (30°)

AC² ≈ 6,4

AC ≈ √6,4

AC≈ 2,5 cm