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Réponse :

a) Montrer que la somme de deux nombres pairs est paire

  soit  p et q deux nombres pairs  ⇔ p = 2 k  et q = 2 k'   avec k , k' ∈ Z

          p + q = 2 k + 2 k' = 2(k + k')   or k ∈ Z , k' ∈ Z donc k + k' = k" ∈ Z

   donc  p + q = 2 k"

   b) la somme de deux nombres impairs donne un nombre pair

     soient  p et q deux nombres impairs  ⇔ p = 2 k + 1  et q = 2 k' + 1

avec k et k ∈ Z

           p + q = 2 k + 1 + 2 k' + 1 = 2 k + 2 k' + 2 = 2(k+k'+1)

on pose k" = k+k'+1  ∈ Z  donc  k" ∈ Z

         donc  p + q = 2 k"

  c) la somme de deux nombres consécutif est impaires

      soient deux nombres consécutifs   n et n + 1

                  S = n + n + 1 = 2 n + 1      avec n ∈ Z

   d) la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5

        soient deux nombres p et q multiples de 5 ⇔ p = 5 x k  et  q= 5 x k'

   avec k et k' ∈ Z

                  p + q = 5 k + 5 k' = 5(k+k')   on pose k" = k + k' ∈ Z  donc  k"∈Z

  e) le produit d'un multiple de 3 par un multiple de 4 est un multiple de 12

           p = 3 k   et  q = 4 k'    avec  k , k' ∈ Z

        donc  p x q = 3 k x 4 k' = 12 kk'     k" = kk' ∈ Z  donc k" ∈ z

    f) la somme de 3 nombres naturels consécutifs est un multiple de 3

         soient  n , n+1 et n+2  trois nombres naturels consécutif

           S = n + n + 1 + n+2 = 3 n + 3 = 3(n+1)   avec  n ∈ N  

on pose n' = n+1 ∈ N  donc n' ∈ N

           S = 3 n'

    g) la somme de 5 nombres naturels consécutifs est un multiple de 5

      soient  5 nombres naturels consécutifs ;  n , n+1 , n+2 , n+3 , n+ 4

         S = n + n + 1 + n+2 + n+3 + n+4 = 5 n + 10 = 5(n + 2)

n ∈ N  ⇒ n+2 ∈ N   on pose  n' = n+2   donc  n' ∈ N  

           donc   S = 5 n'     avec n' ∈ N    

Explications étape par étape