Com o processo de indução finita foi possível provar que [tex]n^2\leq 2^n;n\geq 5[/tex]

Indução Finita

Vamos provar que,

[tex]n^2 < 2^n[/tex]

para n > 4.

O caso base é n=5, o que nos dá:

[tex]5^2 = 25 < 32 = 2^5[/tex]

Então, queremos supor que a desigualdade vale para n = k para alguns [tex]k\in \mathbb{Z}^+[/tex]. E então você quer mostrar que também vale para n = k + 1. Nós temos,

(k + 1)² = k² + 2k + 1

Vamos assumir [tex]k^2 < 2^k[/tex], assim obtemos

[tex](k + 1)^2 < 2^k+2k+1[/tex]

Então, se pensarmos sobre isso, gostaríamos de mostrar que é menor do que

[tex]2^{k+1}=2.2^k[/tex]

Assim, de fato, queremos mostrar que

[tex]2k+1 < 2^k[/tex]

Se começarmos com a base indutiva 0,1 ou 2, então teríamos problemas, pois:

[tex]2k+1\le 2^k[/tex]

não vale para n=2

Base de indução: Para n=3,

[tex]2\cdot 3+1=7\le 8=2^3[/tex]

Etapa de indução: suponha que para [tex]n\ge 3[/tex], [tex]2n+1\le 2^n[/tex] Então

[tex]2(n+1)+1=2n+1+2\le 2^n+2\le 2^n+2^n=2^{n+1}[/tex]

e assim mostramos que vale para n=k+1.

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