No conjunto de cinco fichas, há três fichas com os registros à vista: -9, -4 e +1; e há duas fichas com os registros não à vista. Sabe-se, porém, que os números registrados nas cinco fichas são inteiros cuja soma resulta -9 e cujo produto resulta 72. Nessas condições, assinale a alternativa correta.
(A) Há mais fichas com o registro de números negativos do que com o registro de números positivos.
(B) Há duas fichas com o mesmo registro.
(C) O produto dos números registrados nas fichas com os registros não à vista é maior
do que 2.
(D) O módulo do menor número registrado nas
cinco fichas tem apenas dois divisores
positivos.
(E) A diferença entre os números registrados
nas fichas com os registros não à vista é um número primo.
(A) Há mais fichas com o registro de números negativos do que com o registro de números positivos.
(B) Há duas fichas com o mesmo registro.
(C) O produto dos números registrados nas fichas com os registros não à vista é maior
do que 2.
(D) O módulo do menor número registrado nas
cinco fichas tem apenas dois divisores
positivos.
(E) A diferença entre os números registrados
nas fichas com os registros não à vista é um número primo.
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Resposta:
A resposta correta é a alternativa (B) Há duas fichas com o mesmo registro.
Explicação passo a passo:
Do enunciado podemos abstrair o seguinte sistema de equações:
[tex]\left \{ {{-9-4+1+x+y=-9 (A)} \atop {(-9) * (-4) * (+1) * x * y=72(B)}} \right.[/tex]
Onde x é uma das fichas com o registro não à mostra e y é a outra.
Da equação (A) temos que:
[tex]-9-4+1+x+y=-9 \\ -13+1+x+y=-9 \\ -12+x+y=-9 \\ x+y=-9+12 \\ x=3-y[/tex]
Inserindo o valor de x que obtivemos depois de desenvolver a equação (A) na equação (B) iremos encontrar o seguinte:
[tex](-9)*(-4)*(+1)*(x)*(y)=72\\(-9)*(-4)*(+1)*(3-y)*(y)=72\\36*(3-y)*y=72\\36y*(3-y)=72\\[/tex]
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação temos:
[tex]36y*(3-y)=72\\108y-36y^2 = 72\\[/tex]
Rearrumando essa equação encontramos uma equação do 2º grau:
[tex]-36y^2+108y-72=0\\[/tex]
Encontraremos suas soluções utilizando-se a fórmula de Bhaskara:
[tex]\frac{-b\frac{+}{-}\sqrt{b^2-4*a*c} }{2a}[/tex]
Aplicando a equação à formula teremos o seguinte:
[tex]y' = \frac{-108+\sqrt{(108^2)-((4)*(-36)*(-72))}}{2*(-36)} \\y' = \frac{-108+\sqrt{(11.664)-(10.368)}}{-72}\\y' = \frac{-108+\sqrt{(1.296}}{-72}\\y' = \frac{-108+36}{-72} = \frac{-72}{-72} = 1[/tex]
Aqui encontramos y' que para os efeitos dessa resolução é o resultado da fórmula quando somamos o valor de -b com a raiz quadrada. Agora, tendo em vista que a resolução é a mesma, pulemos para o momento em que há a diferença:
[tex]y'' = \frac{-108-36}{-72} = \frac{-144}{-72} = 2[/tex]
Logo, obtivemos que y' = 1 e y'' = 2.
Substituindo os valores encontrados na equação que encontramos em (A) observamos que:
[tex]x = 3 - 1\\x = 2[/tex] se for y' = 1
[tex]x = 3 - 2\\x = 1[/tex] se for y'' = 2
Para todos os efeitos uma das peças seja ela x ou y é +1 e a outra é +2.
Observe que com estes valores podemos satisfazer as duas equações (A) e (B).
[tex]-9-4+1+1+2=-9\\-13+4 = -9\\-9=-9[/tex]
e a segunda também atende, vou deixar pra que confiram! ^^"