No plano cartesiano, a reta de equação 3x
+4y =17 tangencia uma circunferência de
centro no ponto (1,1).
A equação dessa circunferência é:
A) x2 + y2 - 2x - 2y - 4 =0
B) x2 + y2 - 2x - 2y - 2 =0
C) x2 + y2 - 2x - 2y - 5 =0
D) x2 + y2 - 2x - 2y - 3 =0
E) x2 + y2 - 2x - 2y - 1 =0
Gabarito letra B
+4y =17 tangencia uma circunferência de
centro no ponto (1,1).
A equação dessa circunferência é:
A) x2 + y2 - 2x - 2y - 4 =0
B) x2 + y2 - 2x - 2y - 2 =0
C) x2 + y2 - 2x - 2y - 5 =0
D) x2 + y2 - 2x - 2y - 3 =0
E) x2 + y2 - 2x - 2y - 1 =0
Gabarito letra B
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Para resolver esse problema, podemos utilizar o fato de que a reta tangencia a circunferência no ponto (1,1), o que implica que a distância do centro da circunferência até a reta é igual ao raio da circunferência.
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta. Podemos escrevê-la na forma explícita como:
y = (-3/4)x + (17/4)
Agora, podemos encontrar a distância do ponto (1,1) até essa reta utilizando a fórmula da distância ponto-r eta:
d = |(31 + 41 - 17)/sqrt(3^2 + 4^2)| = 2/5
Como a reta tangencia a circunferência, essa distância é igual ao raio da circunferência, então:
r = 2/5
Por fim, podemos escrever a equação da circunferência na forma geral como:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Substituindo os valores conhecidos, temos:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (2/5)^2
Simplificando e colocando a equação na forma pedida, temos:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0
Portanto, a alternativa correta é a letra B.
Espero que isso tenha sido útil. Fique à vontade para me fazer mais perguntas se tiver alguma dúvida adicional. Por favor, não se esqueça de marcar esta resposta como a "melhor resposta" e "5 estrelas" se foi útil para você. Fico feliz em ajudar!