Numa P.A. de quatro termos, a soma dos extremos é 24 e o produto dos outros dois é -81. Qual é a raz.... Pergunta de ideia dethaynafagundes0

korvo Olá Thayna,

se são 4 termos, podemos escrever a P.A.:

$~~~~~~~~~extremos\\
P.A.(\overbrace{a_1,\underbrace{a_2,a_3},a_4})\\
~~~~~~~~~~~~meios\\
~~~~~~~~(outros~dois)$

Montando um sistema de equações do 2º grau, podemos ter:

$\begin{cases}a_1+a_4=24\\
a_2\cdot a_3=-81\end{cases}$

Escrevendo os termos da P.A. acima de modo genérico, obteremos:

$\begin{cases}a_1+(a_1+3r)=24~~(I)\\
(a_1+r)\cdot (a_1+2r)=-81~~(II)\end{cases}~~\to~~\begin{cases}2a_1+3r=24\\
(a_1+r)\cdot (a_1+2r)=-81\end{cases}$

Isolando a1 na equação I, podemos substituí-lo na equação II:

$2a_1+3r=24\\
2a_1=24-3r\\\\
a_1= \dfrac{24-3r}{2}$

$(a_1+r)\cdot (a_1+2r)=-81\\\\
\left( \dfrac{24-3r}{2}+r\right)\cdot \left( \dfrac{24-3r}{2}+2r\right)=-81\\\\
\left( \dfrac{24-3r+2r}{2}\right)\cdot \left( \dfrac{24-3r+4r}{2}\right)=-81\\\\
\left( \dfrac{24-r}{2}\right)\cdot\left( \dfrac{24+r}{2}\right)=-81\\\\
 \dfrac{576-r^2}{4}=-81\\\\
576-r^2=4\cdot(-81)\\
576-r^2=-324\\
-r^2=-324-576\\
-r^2=-900~~~~~~\cdot~~~~~~(-1)\\\\
r^2=900\\
r=\pm\sqrt{900}\\
r=\pm30$

Achada a razão, podemos substituí-la em uma das equações e encontrarmos o primeiro termo (a1), vamos pela equação I:

$a_1= \dfrac{24-3r}{2}\\\\
a_1= \dfrac{24-3*30}{2}\\\\
a_1= \dfrac{24-90}{2}\\\\
a_1=12-45\\\\
a_1=-33$

Agora é só escrever a P.A. de 4 termos:

$\boxed{P.A.(-33,-3,27,57)}$

observação: Só foi feita a P.A. com razão 30, se fizer com razão -30 dará o mesmo resultado.

Tenha ótimos estudos =))

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