Resposta:

Eis as respostas solicitadas pela Tarefa:

• a) 400,00 reais
• b) 160.000,00 reais

O gráfico está anexo à resolução da Tarefa.

Explicação passo-a-passo:

A função L(x) = -x² + 800x é uma função polinomial de segundo grau ou função quadrática.

O gráfico da função L(x) é uma parábola, cuja concavidade está voltada para baixo, pois o valor do coeficiente quadrático ou coeficiente ligado à variável x de segundo grau é -1 (-1 < 0).

Desta forma, a função L(x) tem o seu ponto de máximo no vértice.

A abscissa (ou a coordenada x) do vértice nos irá fornecer o preço x em que o lucro L(x) é máximo.

Então, vamos calcular este valor de x:

[tex]x_V=-\dfrac{b}{2a} \\ x_V=-\dfrac{ + 800}{2 \times ( - 1)} \\ x_V=-\dfrac{800}{ - 2} \\ x_V= - ( - 400) \\ x_V = + 400 \\ x_V=400[/tex]

O valor, em que o lucro é máximo, é de 400,00 reais.

Por sua vez, a ordenada (ou coordenada y) do vértice nos irá fornecer o lucro máximo, ou seja, o maior valor de L(x).

Então, vamos calcular este valor de L(x):

[tex]y_V=-\dfrac{\Delta}{4a} = - \dfrac{ {b}^{2} - 4ac }{4a} \\ y_V=-\dfrac{( { + 800)}^{2} - 4 \times ( - 1) \times (0) }{4 \times ( - 1)} \\ y_V=-\dfrac{640.000}{ - 4} \\ y_V=-( - 160.000) \\ y_V= + 160.000 \\ y_V=160.000[/tex]

O lucro máximo é de 160.000,00 reais.

Por fim, para esboçar o gráfico da função dada, nós devemos determinar os valores das raízes ou dos zeros da função.

Vejamos:

[tex]L(x)=-x^2+800x\\L(x)=0\\Logo{:}\\-x^2+800x=0 \\ x \times ( - x + 800) = 0 \\ x = 0 \\ ou \\ - x + 800 = 0 \\ - x = 0 - 800 \\ - x = - 800 \\ x = 800[/tex]

As raízes ou os zeros da função são:

• x₁ = 0
• x₂ = 800

O gráfico da função terá os seguintes pontos:

• Raízes: A (0, 0) e B (800, 0)
• Vértice: C (400, 160.000)