Resposta:

Podemos decompor o vetor A em suas componentes retangulares como A = (A cos θ, A sin θ), onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o eixo x positivo. Ao girar o vetor A por um ângulo φ, obtemos o vetor A', que pode ser decomposto em suas componentes retangulares como A' = (A' cos(θ + φ), A' sin (θ + φ)).

Utilizando as identidades trigonométricas para o cosseno e o seno da soma de dois ângulos, temos:

A' cos(θ + φ) = A cos θ cos φ - A sin θ sin φ

A' sin(θ + φ) = A sin θ cos φ + A cos θ sin φ

Substituindo os valores das componentes de A e simplificando, podemos escrever:

A' cos(θ + φ) = A cos θ cos φ - A sin θ sin φ

A' sin(θ + φ) = A sin θ cos φ + A cos θ sin φ

A' = A cos φ cos θ - A sin φ sin θ

A' = A sin φ cos θ + A cos φ sin θ

Onde θ é o ângulo original de A com o eixo x, A é o módulo do vetor A, e a e b são as componentes do vetor A ao longo dos eixos x e y, respectivamente.

Portanto, as componentes de A' em função das componentes de A e do ângulo de rotação φ são:

A'x = A cos φ cos θ - A sin φ sin θ

A'y = A sin φ cos θ + A cos φ sin θ