O vetor A da figura 15 tem componentes cartesianas A e A. Ao ser girado de um ângulo 0, ele se transforma no vetor A'. Quais são os componentes A' e A' do vetor A' em termos das componentes A e Ae x y do ângulo e?
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Resposta:
Podemos decompor o vetor A em suas componentes retangulares como A = (A cos θ, A sin θ), onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o eixo x positivo. Ao girar o vetor A por um ângulo φ, obtemos o vetor A', que pode ser decomposto em suas componentes retangulares como A' = (A' cos(θ + φ), A' sin (θ + φ)).
Utilizando as identidades trigonométricas para o cosseno e o seno da soma de dois ângulos, temos:
A' cos(θ + φ) = A cos θ cos φ - A sin θ sin φ
A' sin(θ + φ) = A sin θ cos φ + A cos θ sin φ
Substituindo os valores das componentes de A e simplificando, podemos escrever:
A' cos(θ + φ) = A cos θ cos φ - A sin θ sin φ
A' sin(θ + φ) = A sin θ cos φ + A cos θ sin φ
A' = A cos φ cos θ - A sin φ sin θ
A' = A sin φ cos θ + A cos φ sin θ
Onde θ é o ângulo original de A com o eixo x, A é o módulo do vetor A, e a e b são as componentes do vetor A ao longo dos eixos x e y, respectivamente.
Portanto, as componentes de A' em função das componentes de A e do ângulo de rotação φ são:
A'x = A cos φ cos θ - A sin φ sin θ
A'y = A sin φ cos θ + A cos φ sin θ