Resposta: As equações dadas não se tratam de um problema de permutação, arranjo ou combinação, mas sim de um problema de contagem.

a) Para a equação x + y = 6, podemos resolver por tentativa e erro, listando todas as possibilidades de pares de números inteiros que somem 6: (0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0). Portanto, há 7 soluções inteiras e não negativas.

b) Para a equação x + y + z + w = 7, podemos utilizar a técnica das "bolas e urnas", onde consideramos 7 bolas que precisam ser distribuídas em 4 urnas (representando as variáveis x, y, z e w). Podemos pensar nesse problema como se fosse necessário inserir 3 "divisórias" (ou "barreiras") entre as bolas para separá-las em 4 grupos. Por exemplo:

o o | o o o | o |

Nesse caso, teríamos x=2, y=3, z=1 e w=1. Portanto, o problema se resume a escolher 3 posições entre as 6 possíveis para colocar as divisórias, o que pode ser feito de C(6,3) = 20 maneiras diferentes. Portanto, há 20 soluções inteiras e não negativas para essa equação.