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Resposta:

PA (-50/3, -10, -10/3, 10/3, 10, 50/3, 70/3, ....)

aₙ = (-70 +20n)/3

Explicação passo a passo:

Equação da PA: aₙ = a₁ + (n-1).r

a₂ + a₄ + a₆ = 10:

a₂ => n = 2

Substituindo n=2 em aₙ = a₁ + (n-1).r:

a₂ = a₁ + (2-1).r = a₁ + r

a₄ => n = 4

Substituindo n=4 em aₙ = a₁ + (n-1).r:

a₄ = a₁ + (4-1).r = a₁ + 3r

a₆ => n = 6

Substituindo n=6 em aₙ = a₁ + (n-1).r:

a₂ = a₁ + (6-1).r = a₁ + 5r

Substituindo a₂ = a₁ + r, a₄ = a₁ + 3r e a₆ = a₁ + 5r em  a₂ + a₄ + a₆ = 10:

a₁ + r + a₁ + 3r  +  a₁ + 5r = 10

3a₁ + 9r = 10 (I)

a₃ + a₅ +a₇ = 30:

a₃ => n = 3

Substituindo n=3 em aₙ = a₁ + (n-1).r:

a₃ = a₁ + (3-1).r = a₁ + 2r

a₅ => n = 5

Substituindo n=5 em aₙ = a₁ + (n-1).r:

a₅ = a₁ + (5-1).r = a₁ + 4r

a₇ => n = 7

Substituindo n=7 em aₙ = a₁ + (n-1).r:

a₇ = a₁ + (7-1).r = a₁ + 6r

Substituindo a₃ = a₁ + 2r, a₅ = a₁ + 4r e a₇ = a₁ + 6r em  a₃ + a₅ +a₇ = 30:

a₁ + 2r + a₁ + 4r + a₁ + 6r = 30

3a₁ + 12r = 30 (÷3)

a₁ + 4r = 10 (II)

Temos um sistema formado por (I) e (II)

3a₁ + 9r = 10 (I)

a₁ + 4r = 10 (II)

Para resolver, de (II) isole o a₁ :

a₁ = 10 - 4r

Substituindo a₁ = 10 - 4r em 3a₁ + 9r = 10:

3(10 - 4r) + 9r = 10

30-12r+9r=10

3r=30-10

3r = 20

r = 20/3

Substituindo r = 20/3 em (II)

a₁ = 10 - 4(20/3)

a₁ = (30-80)/3

a₁ = -50/3

aₙ = -50/3 + (n-1).20/3

aₙ = -50/3 +20n/3 - 20/3

aₙ = -70/3 + 20n/3

aₙ = (-70 +20n)/3

Para n = 1

a₁ = -50/3

Para n = 2

a₂ = (-70 +20.2)/3 = (-70+40)/3 = -30/3 = -10

Para n = 3

a₃ = (-70 +20.3)/3 = (-70+60)/3 = -10/3

Para n = 4

a₄ = (-70 +20.4)/3 = (-70+80)/3 = 10/3

Para n = 5

a₅ = (-70 +20.5)/3= (-70 +100)/3=30/3=10

Para n = 6

a₆ = (-70 +20.6)/3= (-70 +120)/3=50/3

Para n = 7

a₅ = (-70 +20.7)/3= (-70 +140)/3=70/3

e assim por diante

PA (-50/3, -10, -10/3, 10/3, 10, 50/3, 70/3, ....)

PROVA:

a₂ + a₄ + a₆ = 10

-10 + 10/3 +50/3 = 10

(-30+10+50)/3 = 10

30/3 = 10

10 = 10 (VERDADEIRO)

a₃ + a₅ +a₇ = 30

-10/3 + 10 + 70/3 = 30

(-10+30+70)/3 = 30

90/3 = 30

30 = 30 (VERDADEIRO)