Dadas as definições para o que é a equação da circunferência e como encontrá-la a partir do gráfico apresentado, temos então que, para cada item:

• a. O caminho das pedras intersecta a praça em dois pontos;
  
• b. Os pontos de interseção do caminho na praça são dados por (4,3) e (11,10).

Equação da circunferência

Uma circunferência, na matemática, é definida a partir de uma sequência de pontos que possuem uma mesma distância de um ponto em comum. Sua equação é definida como:

[tex]\boxed{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2}[/tex]

Onde c1 é a coordenada x do centro da circunferência, e c2 é a coordenada y, enquanto r é o raio.

Então, o problema dado e analisando a circunferência da figura, podemos dizer que a equação é dada por:

(x - 8)² + (y - 6)² = 25

A partir disso, temos as seguintes questões:

• a. Como o caminho se trata de uma reta que começa fora da circunferência e termina também fora, temos então que há dois pontos de interseção entre a praça e o caminho;
  
  
• b) Agora, pode-se então determinar os pontos nos quais o caminho intersecta a praça. Para isso, é possível utilizar a equação da reta, dada por:
  y = mx + c
  
  Onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear. Podemos encontrar m calculando a diferença das coordenadas y dividida pela diferença das coordenadas x:
  m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
  m = (12 - 1) / (13 - 2)
  m = 11 / 11
  m = 1
  
  Agora que temos m, podemos usar uma das coordenadas dos pontos do caminho de pedras para encontrar o valor de c. Usaremos o ponto (2, 1):
  1 = 1 * 2 + c
  1 = 2 + c
  c = -1
  
  A equação do caminho de pedras é, portanto, y = x - 1. Substituindo essa equação na equação da circunferência, obtemos:
  (x - 8)² + (x - 1 - 6)² = 25
  (x - 8)² + (x - 7)² = 25
  x² - 16x + 64 + x² - 14x + 49 = 25
  2x² - 30x + 88 = 0
  
  Podemos resolver essa equação quadrática usando a equação de Bháskara:
  
  [tex]\boxed{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}[/tex]
  
  Para essa equação, a = 2, b = -30 e c = 88. Calculando, obtemos:
  
  [tex]x=\frac{30 \pm \sqrt{900-704}}{4}\\\\x=\frac{30 \pm 14}{4}\\\\x_1=11\\x_2=4[/tex]
  
  Agora, substituindo esses valores de x na equação do caminho de pedras, podemos encontrar os valores correspondentes de y:
  Para x = 11, y = 10;
  Para x = 4, y = 3.
  
  Portanto, o caminho de pedras intersecta o contorno da praça nos pontos (11, 10) e (4, 3).

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