Para encontrar pontos criticos de uma função z = f(x,y temos que encontrar os pontos que anulam as derivadas parciais primeiras da função. Para analisar a caracteristica de um ponto critico (xo. Yo) usamos o seguinte procedimento: fa fo for Fx-Latn-(fy) 17-0 D> 0 € ƒ¸(x.. y) > 0 ⇒ (X.. Y.) é minimo global {D > 0e L.(x.x) < 0 –> (x.. ƒ) é máximo global DAO― (Ko.Yo) é ponto de sela Se D – 0, nada se pode afirmar. Com essas informações em mente, considere a função [(x,y) = x² 1 y² 2x 4y e analise as afirmativas a seguir sobre ponto(s) crítico(s) da função: IN O ponto (0,0) à ponto de sela O ponto (2.1) é ponto de máximo global 1115 | O ponto (1,2) a ponto de minimo global Após essa análise, assinale alternativa correta:
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Analisando os pontos críticos e a matriz Hessiana, temos que, a única afirmação verdadeira é a da alternativa A, o ponto (1, 2) é um mínimo global.
Pontos críticos
Para determinar os pontos críticos da função [tex]f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y[/tex], devemos calcular as duas derivadas parciais, em relação a x e em relação a y, e igualar ambas a zero. Dessa forma, temos que:
[tex]\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1[/tex]
[tex]\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2[/tex]
O único ponto crítico da função é igual a (1, 2). Para analisar se esse é um ponto de mínimo, de máximo ou de sela, devemos analisar o sinal da Hessiana e da derivada parcial [tex]\drac{\partial}{\partial x} (\drac{\partial}{\partial x} f )[/tex] nesse ponto. Temos que:
[tex]\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}= \dfrac{\partial}{\partial x}(2x - 2) = 2[/tex]
[tex]\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} (1, 2) = 2 > 0[/tex]
[tex]H(x_0, y_0) = \left[\begin{array}{cc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] = 8 > 0[/tex]
Como os dois resultados são positivos, concluímos que, a única afirmação verdadeira é que o ponto (1, 2) é um mínimo global.
Para mais informações sobre derivada parcial, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/25301148
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