Probabilidade condicional
P(A/B) = P (A ∩ B)/P(B)
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7; fazemos:
P(A/B) = P (A ∩ B)/P(B)
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7; fazemos:
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✅ A probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado dado que a soma é maior que 7 é P(A∩B) = 0,2667 = 26,67%
☁ Probabilidade clássica: A lei de Laplace para as probabilidades de eventos equiprováveis é a razão entre a cardinalidade do evento pela cardinalidade do espaço amostral
[tex]\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(\mathcal{A}) = \dfrac{\Vert\mathcal{A}\Vert}{\Vert\varOmega\Vert} \qquad }}}[/tex]
⚠️ Essa expressão é comumente traduzida para: “A probabilidade com iguais chances para todos os sub eventos de um evento acontecer é a razão entre número de casos favoráveis pelo número de casos totais”.
☁ Probabilidade condicional: Sejam [tex] \rm \mathcal{A} [/tex] e [tex] \rm \mathcal{B} [/tex] eventos do espaco amostral [tex]\rm \varOmega[/tex]. em que a probabilidade de [tex] \rm \mathcal{B} [/tex] é maior que zero [ [tex] \rm P(\mathcal{B}) > 0 [/tex] ]. Então define-se por probabilidade condicional do evento [tex] \rm A [/tex] dado que [tex] \rm B [/tex] aconteceu, como
[tex]\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(\mathcal{A}\mid\mathcal{B}) = \dfrac{P(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})}{P(\mathcal{B})}\qquad }}}[/tex]
ℹ️ A cardinalidade de um conjunto é a quantidade de elementos nele contido. Por exemplo, [tex]\rm \Gamma = \{1, 3, 5, 7\}[/tex] é um conjunto com cardinalidade [tex]\rm \Vert\Gamma\Vert = 4[/tex].
✍️ Solução: No lançamento de dois dados temos o seguinte espaço amostral. Note que por permutação, podemos estabelecer a cardinalidade.
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \varOmega = \{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,4),(6,5),(6,6)\} \Rightarrow \Vert\varOmega\Vert = 6! = 36 \end{array}[/tex]
Definamos [tex]\mathcal{A}[/tex] como o evento em que os lançamentos do primeiro dado resultam em 5
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \mathcal{A} = \{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\} \Rightarrow \Vert\mathcal{A}\Vert = 6 \end{array}[/tex]
Definamos ainda [tex]\mathcal{B}[/tex] como o evento em que a soma dos valores obtidos em cada lançamento seja 7
[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \mathcal{B} = \{&(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),\\&(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \Rightarrow \Vert\mathcal{B}\Vert = 15 \end{aligned}\end{array}[/tex]
Note que a intersecção [tex]\mathcal{A}\cap\mathcal{B}[/tex] é o conjunto
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm \mathcal{A\cap B} = \{(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\} \Rightarrow \Vert\mathcal{A\cap B}\Vert = 4 \end{array}[/tex]
Então, a probabilidade de [tex]\mathcal{A}[/tex] acontecer dado que [tex]\mathcal{B}[/tex] aconteceu será
[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm P(\mathcal{A}\mid\mathcal{B}) &= \dfrac{\dfrac{4}{36}}{\dfrac{15}{36}} \\\\&=\rm \dfrac{4}{36} \cdot \dfrac{36}{15} \\\\&=\rm \dfrac{4}{15} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: P(\mathcal{A\mid B}) = 0,2667 = 26,67\% }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare \end{array}[/tex]
✔️ Essa é a probabilidade do primeiro lançamento ser 5, sabendo que a soma dos dois lançamentos foi 7.
⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre probabilidade:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]