Podemos associar matrizes com as transformações lineares. Considere a base B tridimensional R³ e a base B={(1, 0, 0), (0,1,0),(0,0,1)} sendo está a base canônica para o espaço e a matriz A dada a seguir:
open square brackets table row cell negative 3 end cell 0 0 row 0 2 0 row 0 0 1 end table close square brackets
Com bases nesses dados, uma transformação linear TA de R³ em R³ pode ser verificada na expressão:
Escolha uma:
a.
TA (x,y,z)=(-3x,-2y,z)
b.
TA (x,y,z)=(-x,2y,2z)
c.
TA (x,y,z)=(3x,y,-z)
d.
TA (x,y,z)=(-3x,2y,-z)
e.
TA (x,y,z)=(-3x,2y,z)
open square brackets table row cell negative 3 end cell 0 0 row 0 2 0 row 0 0 1 end table close square brackets
Com bases nesses dados, uma transformação linear TA de R³ em R³ pode ser verificada na expressão:
Escolha uma:
a.
TA (x,y,z)=(-3x,-2y,z)
b.
TA (x,y,z)=(-x,2y,2z)
c.
TA (x,y,z)=(3x,y,-z)
d.
TA (x,y,z)=(-3x,2y,-z)
e.
TA (x,y,z)=(-3x,2y,z)
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Resposta:
Para verificar a transformação linear TA utilizando a matriz A dada, podemos multiplicar a matriz A pelo vetor (x, y, z) e observar o resultado. O resultado será a transformação linear aplicada aos elementos do vetor.
A matriz A dada é:
[ -3 0 0 ]
[ 0 2 0 ]
[ 0 0 1 ]
Para verificar cada opção de resposta, vamos multiplicar a matriz A pelo vetor (x, y, z) e observar se o resultado corresponde à expressão da transformação linear.
a. TA (x, y, z) = (-3x, -2y, z)
Multiplicando a matriz A pelo vetor (x, y, z):
[ -3 0 0 ] [x] [ -3x ]
[ 0 2 0 ] * [y] = [ -2y ]
[ 0 0 1 ] [z] [ z ]
Comparando com a expressão da transformação linear, podemos ver que a resposta a. está incorreta.
b. TA (x, y, z) = (-x, 2y, 2z)
Multiplicando a matriz A pelo vetor (x, y, z):
[ -3 0 0 ] [x] [ -3x ]
[ 0 2 0 ] * [y] = [ 2y ]
[ 0 0 1 ] [z] [ 2z ]
Comparando com a expressão da transformação linear, podemos ver que a resposta b. está incorreta.
c. TA (x, y, z) = (3x, y, -z)
Multiplicando a matriz A pelo vetor (x, y, z):
[ -3 0 0 ] [x] [ -3x ]
[ 0 2 0 ] * [y] = [ 2y ]
[ 0 0 1 ] [z] [ -z ]
Comparando com a expressão da transformação linear, podemos ver que a resposta c. está incorreta.
d. TA (x, y, z) = (-3x, 2y, -z)
Multiplicando a matriz A pelo vetor (x, y, z):
[ -3 0 0 ] [x] [ -3x ]
[ 0 2 0 ] * [y] = [ 2y ]
[ 0 0 1 ] [z] [ -z ]
Comparando com a expressão da transformação linear, podemos ver que a resposta d. está correta.
e. TA (x, y, z) = (-3x, 2y, z)
Multiplicando a matriz A pelo vetor (x, y, z):
[ -3 0 0 ] [x] [ -3x ]
[ 0 2 0 ] * [y] = [ 2y ]
[ 0 0 1 ] [z] [ z ]
Comparando com a expressão da transformação linear, podemos ver que a resposta e. está incorreta.
Portanto, a resposta correta é a letra d. TA (x, y, z) = (-3x, 2y, -z). Esta é a transformação linear correspondente à matriz dada.