Bonjour !DM MATHS 1ERE S // Polynômes ! j'ai besoin d'aide pour ce DM (surtout le II et le III) Merc.... Pergunta de ideia deAgathe2027

Agathe2027 @Agathe2027

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Bonjour !
DM MATHS 1ERE S // Polynômes ! j'ai besoin d'aide pour ce DM (surtout le II et le III) Merci !!!
(niveau 1ere S)

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$I)a)\ P(x)=(x^2-1)^2-(4x+5)^2\\P(x)=(x^2-1+4x+5)(x^2-1-4x-5)\\P(x)=(x^2+4x+4)(x^2-4x-6)$

$b)\ P(x)=0\\(x^2+4x+4)(x^2-4x-6)=0\\(x+2)^2(x^2-4x-6)=0\\(x+2)^2=0\ \ ou\ \ x^2-4x-6=0$
$\\x+2=0\Longrightarrow x=-2\\x^2-4x-6=0\\\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-6)=16+24=40$

$x_1=\dfrac{4-\sqrt{40}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{10})}{2}=2-\sqrt{10}\\\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{40}}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{10})}{2}=2+\sqrt{10}$

Par conséquent,
l'ensemble des solutions de l'équation P(x)=0 sont [tex]\boxed{S=\{-2\ ;\ 2-\sqrt{10}\ ;\ 2+\sqrt{10}\}}[/tex]

$II)\ Q(x)=x^4-18x^2-40x-24\\\\a)\ x^4-18x^2-40x-24=(x^2-m)^2-(ax^2+bx+c)$

$x^4-18x^2-40x-24=x^4-2mx^2+m^2-ax^2-bx-c\\x^4-18x^2-40x-24=x^4-(2m+a)x^2-bx+m^2-c$

Par identification des coefficients des puissances de x,

$\left\{\begin{matrix}-(2m+a)=-18\\-b=-40\\m^2-c=-24 \end{matrix}\right.$

$\boxed{\left\{\begin{matrix}a=18-2m\\b=40\\c=m^2+24 \end{matrix}\right.}$

x^4-18x^2-40x-24=(x^2-m)^2-(ax^2+bx+c)[/tex]

b) f(x) = (18-2m)x^2+40x+24+m² sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.

$\Delta=0\\40^2-4(18-2m)(24+m^2)=0\\1600-4(18-2m)(24+m^2)=0\\8 m^3-72 m^2+192 m-128 = 0$
$8(m-1) (m-4)^2 = 0\\m-1=0\ \ ou\ \ (m-4)^2=0\\\boxed{m=1\ \ ou\ \ m=4}$

Si m=1, alors $f(x)=16x^2+40x+25$
$\boxed{f(x)=(4x+5)^2}$

c) Racines de Q(x)

$Q(x)=0\\(x^2-1)^2-(4x+5)^2=0\\\boxed{x=-2\ ou\ x=2-\sqrt{10}\ \ ou\ x=2+\sqrt{10}}\ \ (voir\ partie\ I)$

Par conséquent,
les racines de Q(x) sont $\boxed{-2\ ;\ 2-\sqrt{10}\ \ et\ x=2+\sqrt{10}}$

$III)\ R(x)=x^4-10x^3+35x-5x+24=0\\\\a)\ S(x)=(ax^2+bx+c)^2-x^4+10x^3-35x^2+50x-24$

$S(x)=a^2x^4+b^2x^2+m^2+2abx^3+2amx^2+2bmx\\-x^4+10x^3-35x^2+50x-24$

$S(x)=(a^2-1)x^4+(2ab+10)x^3+(b^2+2am-35)x^2\\+(2bm+50)x+m^2-24$

S(x) sera un trinôme du second degré si $a^2-1=0\ \ et\ \ 2ab+10=0$

$a^2-1=0\Longrightarrow a=1\ ou\ a=-1$

Si a = 1, alors 2b + 10 = 0
b = -5

Si a = -1, alors -2b + 10 = 0
b = 5

Par conséquent,
a =1 et b = -5
ou
a = -1 et b = 5.

b) Prenons a = 1 et b = -5.

$S(x)=(2m-10)x^2+(-10m+50)x+m^2-24$

S(x) sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.

$\Delta=0\\(-10m+50)^2-4(2m-10)(m^2-24)=0\\-8 m^3+140 m^2-808 m+1540 = 0\\-4 (m-7) (m-5) (2 m-11) = 0$

Donc m = 5 ou m = 7 ou m = 11/2.

Si m = 7, alors $S(x)=4x^2-20x+25$

$\boxed{S(x)x=(2x-5)^2}$

$c)\ R(x)=(x^2-5x+7)^2-(2x-5)^2\\R(x)=(x^2-5x+7+2x-5)(x^2-5x+7-2x+5)\\\boxed{R(x)=(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)}$

d) Racines de R(x).

$(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=0\\x^2-3x+2=0\ \ ou\ \ x^2-7x+12=0\\(x-1)(x-2)=0\ \ ou\ \ (x-3)(x-4)=0$

$x-1=0\ \ ou\ \ x-2=0\ \ ou\ \ x-3=0\ \ ou\ \ x-4=0\\\boxed{x=1\ \ ou\ \ x=2\ \ ou\ \ x=3\ \ ou\ \ x=4}$

Par conséquent les racines de R(x) sont : 1 ; 2 ; 3 et 4.

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