Pour le trapèze ci contre , on donne AM = 2√2 - 1 ; BM = √8 + 1 et MD = √98
L'unité est le centimetre
Exprimer sous la forme de a+b√2 avec a et b entiers le périmètre et l'aire de trapèze ABCD
L'unité est le centimetre
Exprimer sous la forme de a+b√2 avec a et b entiers le périmètre et l'aire de trapèze ABCD
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Calculs préliminaires :
Grande base du trapèze = AD
= AM + MD
= (2√2-1) + √98
= 2√2-1 + 7√2
= 9√2-1
Petite base du trapèze = BC
= MN
= MD - ND
= MD - AM
= √98 - (2√2 - 1)
= 7√2 - 2√2 + 1
= 5√2 + 1
Hauteur du trapèze = BM
= √8 + 1
= 2√2 + 1
Calcul de AB.
Dans le triangle rectangle AMB, par Pythagore,
AB² = AM² + MB²
= (2√2 - 1)² + (√8 + 1)²
= (2√2)² - 2*2√2*1 + 1² + (√8)² + 2*√8*1 + 1²
= 4*2 - 4√2 + 1 + 8 + 2√8 + 1
= 8 - 4√2 + 1 + 8 + 2√8 + 1
= 18 - 4√2 + 2√8
= 18 - 4√2 + 2*2√2
= 18 - 4√2 + 4√2
= 18
AB = √18
= √(9*2)
= √9 * √2
= 3√2
Périmètre du trapèze = AD + BC + AB = CD
= (9√2 - 1) + (5√2 + 1) + 3√2 + 3√2
= 9√2 - 1 + 5√2 + 1 + 3√2 + 3√2
= 20√2
Le périmètre du trapèze est égal à 20√2 cm
Aire du trapèze = (1/2) * (grande base + petite base) * hauteur
= (1/2) * (AD + BC) * BM
= (1/2) * (9√2 -1 + 5√2 + 1) * (√8 + 1)
= (1/2) * (14√2) * (2√2 + 1)
= 7√2 * (2√2 + 1)
= 7√2 * 2√2 + 7√2*1
= 14 * 2 + 7√2
= 28 + 7√2
L'aire du trapèze est égale à 28 + 7√2 cm².