Bonjour,

1. On va utiliser la propriété suivante :

Si deux cotés opposés d’un quadrilatère sont parallèles et de même

longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

(Toutes les longueurs en dessous seront des vecteurs. Je ne sais pas comment faire sur ordinateur, mais faut bien penser à mettre des flèches au dessus)

On a AB = (xB-xA;yB-yA) = (3-1;3-(-2)) = (2;5)

Et DC = (xC-xD; yC-yD) = (-2-(-4);1-(-4)) = (2;5)

Donc les vecteurs AB et DC sont égaux. Ce qui signifient que les côtés (à noter sans les flèches ici) AB et DC sont parallèles et de même longueur.

Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

2. Les points I, M et B sont alignés si les vecteurs IB et IM sont colinéaires, c'est à dire si il existe un réel k tel que IB = k(IM)

Le point I est le milieu du segment [CD]. a pour coordonnées :

((xC + xD)/2; (yC + yD)/2) = ((-2 + (-4))/2; (1+(-4))/2) = (-3;-1.5)

On a alors IB = (xB-xI;yB-yI) = (3-(-3);3-(-1.5)) = (6;4.5)

Et IM = IA + AM (relation de Chasles)

Avec IA = (xA-xI;yA-yI) = (1-(-3);-2-(-1.5)) = (4;-0.5)

Et AM = (AC) = (xC-xA;yC-yA) =   (-2-1;1-(-2)) = (-3;3) = (-2;2)

Donc IM = (4-2;3.5+2) = (2;1.5)

On remarque que IB = 3(IM)

Donc les vecteurs IB et IM sont colinéaires.

Donc les points I, M et B sont alignés.

3. On va utiliser la propriété suivante :

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de

même longueur alors c’est un losange.

A présent, oublions les flèches et parlons de longueurs :

On a BC =

Et AB =

On remarque que les côtés BC et AB sont de mêmes longueurs.  

Donc le quadrilatère ABCD est un losange.