pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice, l'exercice 96 p238 du manuel sesamath de premiere ? (je suis en première spé maths)
ABCD est un rectangle et les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Les droites (BJ) et (DI) coupent la diagonale [AC] en deux points M et N. Comment choisir les dimensions du rectangle ABCD pour que les points M et N soient les projetés orthogonaux respectivement de D et de B sur la diagonale [AC]?
ABCD est un rectangle et les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Les droites (BJ) et (DI) coupent la diagonale [AC] en deux points M et N. Comment choisir les dimensions du rectangle ABCD pour que les points M et N soient les projetés orthogonaux respectivement de D et de B sur la diagonale [AC]?
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Réponse :
Bonjour
Dessine un rectangle ABCD avec A en bas à gauche et B en bas à droite.
AB=6cm et AD=4,2cm (à titre d'exemple)
Explications étape par étape
trace la diagonale AC et les droites (DI) et (BJ) ;vérifie elles sont à priori perpendiculaires à (AC).
Plaçons nous dans le repère orthonormé (A, AB; AD)
les coordonnées des points sont
A(0; 0) , B(x; 0), D(0; y) ; C(x; y), I(x/2; y) ,J(x/2; y)
Les droites (AC) et (DI) sont perpendiculaire si le produit scalaire
vecAC*vecDI=0
coordonnées de vecAC (x; y)
coordonnées de vecDI (x/2;-y)
produit scalaire = x*(x/2) +y*(-y)=x²/2-y²
Je veux que ce produit scalaire =0
cela m'impose y²=x²/2
y=x/V2 (on ne prend que la solution >0)
solutions: tous les couples de valeurs >0 tels que AD=AB/V2
on doit avoir le rapport longueur/ largeur=V2
si je choisis AB=6 alors AD=4,2(environ)
On peut faire la même démonstration avec (AC) et (BJ)