conjectures : * (u) est croissante * (u) est convergente vers 1 * fichier Tableur ci-joint
preuves : montrons par récurrence que : pour tout n>1 : u(n+1)>u(n) (I) : u(1)-101 et u(2)=-100 donc u(2)>u(1) (H) : u(n+1)>u(n) par hypothèse de récurrence donc n.u(n+1)>(n+1).u(n) donc u(n+1)/(n+1)>u(n)/n donc u(n+1)/(n+1)+1>u(n)/n+1 donc u(n+2)>u(n+1) (C) : (u) est croissante
montrons par récurrence que u(n)<2 (I) : u(1)=-101 donc u(1)<2 (H) : u(n)<2 par hypothèse de récurrence donc u(n)/n<2/n donc u(n)/n+1<2/n+1 donc u(n+1)<2/n+1 donc u(n+1)<2 car 2/n<1 (C) : (u) est majorée par 2
Toute suite croissante et majorée est convergente d'après le th de convergence dominée de Lebesgue donc ici la suite (u) est convergente vers L d'après le th du point fixe lim u(n+1)=lim u(n)=L donc L vérifie l'équation L=L/n+1 or lim L/n=0 donc L=1 ainsi la suite (u) converge vers 1
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conjectures :
* (u) est croissante
* (u) est convergente vers 1
* fichier Tableur ci-joint
preuves :
montrons par récurrence que : pour tout n>1 : u(n+1)>u(n)
(I) : u(1)-101 et u(2)=-100 donc u(2)>u(1)
(H) : u(n+1)>u(n) par hypothèse de récurrence
donc n.u(n+1)>(n+1).u(n)
donc u(n+1)/(n+1)>u(n)/n
donc u(n+1)/(n+1)+1>u(n)/n+1
donc u(n+2)>u(n+1)
(C) : (u) est croissante
montrons par récurrence que u(n)<2
(I) : u(1)=-101 donc u(1)<2
(H) : u(n)<2 par hypothèse de récurrence
donc u(n)/n<2/n
donc u(n)/n+1<2/n+1
donc u(n+1)<2/n+1
donc u(n+1)<2 car 2/n<1
(C) : (u) est majorée par 2
Toute suite croissante et majorée est convergente d'après le th de convergence dominée de Lebesgue
donc ici la suite (u) est convergente vers L
d'après le th du point fixe lim u(n+1)=lim u(n)=L
donc L vérifie l'équation L=L/n+1
or lim L/n=0 donc L=1
ainsi la suite (u) converge vers 1