1) Soit n≥1 Soit k tel que 1≤k≤n ⇔1≤√k≤√n car la fonction √x est croissante ⇔1/√k≥1/√n car la fonction 1/x est décroissante Donc quelque soit k tel que 1≤k≤n on a 1/√k≥1/√n
2) On a U1=1≥√1 C'est vrai au rang n Supposons qu'au rang n on ait Un≥√n Alors Un+1/√(n+1)≥√n+(1/√(n+1))-√(n+1) Or √n+(1/√(n+1))-√(n+1)=(√n√(n+1)+1-(n+1))/√(n+1) √n+(1/√(n+1))-√(n+1)=(√(n(n+1))-n)/√(n+1)=(√(n²(1+1/n))-n)/√(n+1) √n+(1/√(n+1))-√(n+1)=n(√(1+1/n)-1)/√(n+1) n≥1 donc n>0 √(n+1)>0 Par ailleurs 1+1/n≥1 donc √(1+1/n)≥1 donc √(1+1/n)-1≥0 Donc √n+(1/√(n+1))-√(n+1)≥0 et √n+(1/√(n+1))≥√(n+1) On a donc Un+1≥√n+(1/√(n+1))≥√(n+1) et Un+1≥√(n+1) donc quelque soit n Un≥√n
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1) Soit n≥1Soit k tel que 1≤k≤n
⇔1≤√k≤√n car la fonction √x est croissante
⇔1/√k≥1/√n car la fonction 1/x est décroissante
Donc quelque soit k tel que 1≤k≤n on a 1/√k≥1/√n
2) On a U1=1≥√1
C'est vrai au rang n
Supposons qu'au rang n on ait Un≥√n
Alors Un+1/√(n+1)≥√n+(1/√(n+1))-√(n+1)
Or √n+(1/√(n+1))-√(n+1)=(√n√(n+1)+1-(n+1))/√(n+1)
√n+(1/√(n+1))-√(n+1)=(√(n(n+1))-n)/√(n+1)=(√(n²(1+1/n))-n)/√(n+1)
√n+(1/√(n+1))-√(n+1)=n(√(1+1/n)-1)/√(n+1)
n≥1 donc n>0
√(n+1)>0
Par ailleurs 1+1/n≥1 donc √(1+1/n)≥1 donc √(1+1/n)-1≥0
Donc √n+(1/√(n+1))-√(n+1)≥0 et √n+(1/√(n+1))≥√(n+1)
On a donc Un+1≥√n+(1/√(n+1))≥√(n+1)
et Un+1≥√(n+1)
donc quelque soit n Un≥√n
3) √n tend vers +oo donc Un tend vers +oo