Bonjour ,

1)

a)

f(0)=2 donc x=0 n'est pas racine de f(x).

b)

f(x)=2x⁴-9x³+14x²-9x+2

On met x⁴ en facteur :

f(x)=x⁴(2 - 9/x + 14/x² - 9/x³ + 2/x⁴)

f(x)=x⁴[2 - 9(1/x) + 14(1/x²) - 9(1/x³) + 2(1/x⁴)]

Soit :

f(x)=x⁴[2(1/x)⁴ - 9(1/x)³  + 14(1/x)² -9(1/x) + 2]

Or f(1/x)=2(1/x)⁴ - 9(1/x)³  + 14(1/x)² -9(1/x) + 2

Donc :

f(x)=x⁴f(1/x)

c)

Si α est racine , alors f(α)=0.

Mais :

f(α)=α⁴f(1/α)

Donc :

f(α)=0 ==> α⁴f(1/α)=0

Comme α ≠ 0 , α⁴f(1/α)=0 si et seulement si :

f(1/α)=0

2)

Partons   de ce qui est donné :

E : 2(x²+1/x²)-9(x+1/x)+14=0

E : 2[(x⁴+1)/x²] - 9[(x²+1)/x] + 14=0

On met tout sur x² :

E : 2[(x⁴+1)/x²] - 9x(x²+1)/x²+14x²/x²=0

On peut multiplier les 2 membres par x² puisque x ≠ 0.

E : 2(x⁴+1) - 9x(x²+1)+14x²=0

E : 2x⁴+2-9x³-9x+14x²=0

On ordonne :

E : 2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0

Donc f(x)=0 <==> E=0

avec E(x)=2(x²+1/x²)-9(x+1/x)+14

3)

a)

u=x+1/x

u²=(x+1/x)²=x²+2 + (1/x²)

b)

Donc : x²+1/x²=u²-2

Et E=0 devient :

E' : 2(u²-2)-9u+14=0

E' : 2u²-4-9u+14=0

E ' : 2u²-9u+10=0

c)

Δ=(-9)²-4(2)(10)=1

√1=1

u₁=(9-1)/4=2

u₂=(9+1)/4=5/2

d)

On doit résoudre maintenant :

1)

x+1/x=2

x²+1=2x

x²-2x+1=0

(x-1)²=0

x₁=1

2)

x+1/x=5/2

x²+1=(5/2)x

x²-(5/2)x+1=0

2x²-5x+2=0

Nouveau Δ :

Δ=(-5)²-4(2)(2)=9

√9=3

x₂=(5-3)/4=1/2

x₃=(5+3)/4=2

On a donc 3 racines de f(x)=0.

S={1/2;1;2}

Vérification avec graph joint.