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Produtos notáveis:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

(a - b)² = a² - 2.a.b + b²

Com quatro termos, os termos a e b da fórmula serão na verdade a soma dos termos que estão dentro em pares. Quando elevar uma das somas ao quadrado, terá que usar o produto notável de novo:

b)

Fórmula: (a - b)² = a² - 2.a.b + b²

(x+y   -   z+w)² --> o a é o x+y e o b é z+w

(x+y   -   z+w)² = [(x+y)²]  - [2 · (x+y) · (z+w)]  + [(z+w)²] =

(x² + 2xy + y²)  - (2xz+2xw+2yz+2yw)  + (z² + 2xw + w²) =

x² + y² + z² + w² + 2xy - 2xz - 2xw - 2yz - 2yw + 2xw

c)

Fórmula: (a + b)² = a² + 2.a.b + b²

(2x+y  +  3z+w)² --> o a é 2x+y e o b é 3z+w

(2x+y  +  3z+w)² = (2x+y)²  +  2 · (2x+y) · (3z+w) + (3z+w)² =

[(2x)² + 2.2x.y + y²]  + [2.2x.3z + 2.2x.w + 2.y.3z +2 .y.w]  + [(3z)² + 2.3z.w + w²] =

[4x² + 4xy + y²]  + [12xz + 4xw + 6yz + 2yw]  +  [9z² + 6zw + w²] =

4x² + y² + 9z² + w² + 4xy 12xz + 4xw + 6yz + 2yw + 6zw

d) Eu presumi que o 2 está embaixo do x somente, se estiver embaixo do x - y todo o resultado é diferente.

Fórmula: (a - b)² = a² - 2.a.b + b²

(x/2-y  - 5z/3+w/4)² --> o a é x/2-y e o b é 5z/3+w/4

(x/2-y  - 5z/3+w/4)² = (x/2-y)²  - 2 · (x/2-y/2) · (5z/3+w/4)  +  (5z/3+w/4)² =

[(x/2)² - 2 · x/2 · y + y²]  -  [2 · x/2 · 5z/3 + 2 · x/2 · w/4 + 2 · (-y) · 5z/3 + 2 · (-y) · w/4]  +  [(5z/3)² + 2 · 5z/3 · w/4 + (w/4)²] =

[x²/4 - xy + y²]  -  [5xz/3 + xw/4 - 10yz/3 - yw/2] + [25z²/9 + 5zw/6 + w²/16] =

x²/4 - xy + y² - 5xz/3 - xw/4 + 10yz/3 + yw/2 + 25z²/9 + 5zw/6 + w²/16 =

x²/4 + y² + 25z²/9 + w²/16 - xy - 5xz/3 - xw/4 + 10yz/3 + yw/2 + 5zw/6

(Como tem frações, fizemos cancelamentos)

Observação:

É possível fazer diretamente pela fórmula do quadrado da soma de 4 termos:

(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd