Dadas as funções quadráticas do quadro, temos que o vértice e imagem, para cada uma, são respectivamente:

• y = x² : V = (0,0) ; [tex]Im=\{y \in R\ \| y\geq 0 \}[/tex].

• y = x² + 1 : V = (0,1) ; [tex]Im=\{y \in R\ \| y\geq 1 \}[/tex].

• y = 2x² : V = (0,0) ; [tex]Im=\{y \in R\ \| y\geq 0 \}[/tex].

• y = -x² : V = (0,0) ; [tex]Im=\{y \in R\ \| y\leq 0 \}[/tex].

• y = -x² - 1 : V = (0,-1) ; [tex]Im=\{y \in R\ \| y\leq -1 \}[/tex].

• y= -2x² : V = (0,0) ; [tex]Im=\{y \in R\ \| y\leq 0 \}[/tex].

Vértice e Imagem de uma função

Em matemática, a função é uma relação entre um conjunto de números de entrada, chamado de domínio, e um conjunto de números de saída, chamado de contradomínio. O vértice e a imagem são dois conceitos importantes relacionados a funções.

O vértice de uma função quadrática é o ponto em que a função atinge o valor máximo ou mínimo. É o ponto mais alto ou mais baixo da parábola representada pela função quadrática, podendo ser calculado por:

[tex]X_v=\frac{-b}{2a}[/tex]

[tex]Y_v=\frac{-b^2+4ac}{4a}[/tex]

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir. Em outras palavras, é o conjunto de todos os valores de saída correspondentes aos valores de entrada no domínio.

Analisando as funções dadas, temos:

• y = x² : Como a entrada (x) está elevada ao quadrado, a saída (y) nunca será um valor negativo. Dessa forma a imagem é dada para "y pertencente ao conjunto dos reais, para todo valor maior ou igual a 0".

 [tex]X_v=\frac{-(0)}{2*1}=\frac{0}{2}=0 \\ \\Y_v=\frac{-(0)^2+4*1*0}{4*1}=\frac{0}{4} =0[/tex]

• y = x² + 1 : Assim como no caso anterior, a saída nunca será negativa, porém como estamos adicionando "1" ao resultado, a imagem nunca será menor que esse valor. Dessa forma, "y pertence ao conjunto dos reais, para todo valor maior ou igual a 1).

[tex]X_v=\frac{-0}{2*1}=\frac{0}{2}=0 \\ \\Y_v=\frac{-(0)^2+4*1*1}{4*1}=\frac{4}{4} =1[/tex]

• y = 2x² : Assim como no primeiro caso, a imagem também é dada para "y pertencente ao conjunto dos reais, para todo valor maior ou igual a 0".

[tex]X_v=\frac{-(0)}{2*2}=\frac{0}{4}=0 \\ \\Y_v=\frac{-(0)^2+4*2*0}{4*2}=\frac{0}{8} =0[/tex]

• y = -x² : Assim como nos casos anteriores, a resultante do quadrado de "x" sempre será positiva, porém como estamos negativando essa valor, temos uma imagem oposta. Dessa forma, "y pertence ao conjunto dos reais, para todo valor menor ou igual a 0).

[tex]X_v=\frac{-(0)}{2*-1}=\frac{0}{-2}=0 \\ \\Y_v=\frac{-(0)^2+4*-1*0}{4*-1}=\frac{0}{-4} =0[/tex]

• y = -x² - 1 : Seguindo o mesmo raciocínio do caso anterior, temos que a imagem será dada pelo oposto do segundo caso. Dessa forma, "y pertence ao conjunto dos reais, para todo valor menor ou igual a -1).

[tex]X_v=\frac{-(0)}{2*-1}=\frac{0}{-2}=0 \\ \\Y_v=\frac{-(0)^2+4*-1*-1}{4*-1}=\frac{4}{-4} =-1[/tex]

• y= -2x² : Da mesma forma, a imagem será o oposto do terceiro caso, ou seja,  "y pertencente ao conjunto dos reais, para todo valor menor ou igual a 0".

[tex]X_v=\frac{-(0)}{2*-2}=\frac{0}{-2}=0 \\ \\Y_v=\frac{-(0)^2+4*-2*0}{4*-2}=\frac{0}{-8} =0[/tex]

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