Réponse :

Explications :

a) Pour dresser le tableau de variation de g, il faut calculer la dérivée de g et étudier son signe :

g'(x) = (1 + x^2 - 2xln(x))' = 2x - 2ln(x) - 2x/x

g'(x) = 2x - 2ln(x) - 2

On cherche ensuite les valeurs de x pour lesquelles g'(x) = 0 :

2x - 2ln(x) - 2 = 0

2x = 2ln(x) + 2

x = ln(x) + 1

x - ln(x) = 1

On peut résoudre cette équation numériquement pour trouver la solution a. On peut utiliser une méthode numérique ou un logiciel de calcul formel pour trouver que :

1.89 < a < 1.90

On peut ensuite dresser le tableau de variation de g en utilisant les valeurs critiques de g'(x) :

x 1 a +∞

g'(x) -2 0 +∞

g(x) -1 0 +∞

b) On sait que g(x) est décroissante sur l'intervalle [1,a] et croissante sur l'intervalle [a,+∞]. Comme g(1) = -1 et lim x→+∞ g(x) = +∞, on peut en déduire que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique a telle que 1,89 < a < 1,90.

c) On peut déduire le signe de g(x) en utilisant le tableau de variation de g :

g(x) est négative sur l'intervalle [1,a[

g(x) est nulle en x = a

g(x) est positive sur l'intervalle ]a,+∞[

Pour déduire le signe de In(x), il suffit de remarquer que :

In(x) est négatif sur l'intervalle ]0,1[

In(x) est nul en x = 1

In(x) est positif sur l'intervalle ]1,+∞[

On peut donc en déduire que :

g(x) est négative sur l'intervalle ]0,1[

g(x) est négative sur l'intervalle ]1,e^(-1)[

g(x) est nulle en x = e^(-1)

g(x) est positive sur l'intervalle ]e^(-1),+∞[

On peut donc en déduire que :

In(x) est négatif sur l'intervalle ]0,1[

In(x) est négatif sur l'intervalle ]1,e^(-1)[

In(x) est nul en x = 1

In(x) est positif sur l'intervalle ]e^(-1),+∞[

Note : e^(-1) ≈ 0,368 est la solution de l'équation In(x) = -1.