1. Le trajet réalisé par Emil est la somme des longueurs de chaque segment parcouru :
DE + EB + BT + TE + EU = 2 100 + 2 940 + 288 + 2 220 = 7 548 m = 7,548 km
2. Les rues étant toutes perpendiculaires, la 42ème rue est parallèle à la 14ème rue.
3. Pour montrer que la 42ème rue et la 6ème avenue se coupent en angle droit, il suffit de montrer que les vecteurs correspondants sont orthogonaux. Les vecteurs AB et AC sont donnés par :
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est AB · AC = 840 × 420 + 532 × 2 028 = 1 076 880
Comme ce produit est différent de zéro, les vecteurs AB et AC ne sont pas orthogonaux, donc la 42ème rue et la 6ème avenue ne se coupent pas en angle droit.
4. La distance séparant le point de départ D du point d'arrivée U sur la 14ème rue correspond à la longueur du segment DU, qui est donnée par :
DU = DE + EB + BD + DU
On peut utiliser la propriété de parallélisme entre la 42ème rue et la 14ème rue pour écrire :
EB = TU = 3 108 m
BD = BT = 288 m
Donc DU = DE + 2EB + 2BD = 2 100 + 2 × 3 108 + 2 × 288 = 6 092 m = 6,092 km
5. La durée de la promenade correspondant au trajet D-E-B-T-E-U est :
t = (DE + EB + BT + TE + EU) / v
où v est la vitesse moyenne de marche de 4 km/h. En substituant les valeurs, on obtient :
t = 7,548 km / 4 km/h = 1,887 h
Cette durée est supérieure à 1 h 40 min, car 1 h 40 min = 1,667 h. Ainsi, la promenade de Emil correspondant au trajet D-E-B-T-E-U est supérieure à 1 h 40 min.
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Réponse étape par étape :
1. Le trajet réalisé par Emil est la somme des longueurs de chaque segment parcouru :
DE + EB + BT + TE + EU = 2 100 + 2 940 + 288 + 2 220 = 7 548 m = 7,548 km
2. Les rues étant toutes perpendiculaires, la 42ème rue est parallèle à la 14ème rue.
3. Pour montrer que la 42ème rue et la 6ème avenue se coupent en angle droit, il suffit de montrer que les vecteurs correspondants sont orthogonaux. Les vecteurs AB et AC sont donnés par :
AB = (2 940 - 2 100)i + (3 640 - 3 108)j = 840i + 532j
AC = (3 640 - 3 220)i + (3 108 - 1 080)j = 420i + 2 028j
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est AB · AC = 840 × 420 + 532 × 2 028 = 1 076 880
Comme ce produit est différent de zéro, les vecteurs AB et AC ne sont pas orthogonaux, donc la 42ème rue et la 6ème avenue ne se coupent pas en angle droit.
4. La distance séparant le point de départ D du point d'arrivée U sur la 14ème rue correspond à la longueur du segment DU, qui est donnée par :
DU = DE + EB + BD + DU
On peut utiliser la propriété de parallélisme entre la 42ème rue et la 14ème rue pour écrire :
EB = TU = 3 108 m
BD = BT = 288 m
Donc DU = DE + 2EB + 2BD = 2 100 + 2 × 3 108 + 2 × 288 = 6 092 m = 6,092 km
5. La durée de la promenade correspondant au trajet D-E-B-T-E-U est :
t = (DE + EB + BT + TE + EU) / v
où v est la vitesse moyenne de marche de 4 km/h. En substituant les valeurs, on obtient :
t = 7,548 km / 4 km/h = 1,887 h
Cette durée est supérieure à 1 h 40 min, car 1 h 40 min = 1,667 h. Ainsi, la promenade de Emil correspondant au trajet D-E-B-T-E-U est supérieure à 1 h 40 min.